Matematické Fórum

Torpy · 27. 03. 2010 16:11

Zdravím,
poradil mi prosím někdo jak sečíst tuto řadu? Vůbec nevím jak na to.

$\sum_1^\infty[{1\over 2^n}+{(-1)^n \over 3^n}]$

Díky moc za radu.

Stýv · 27. 03. 2010 16:37

je to součet dvou geometrických řad

Marian · 27. 03. 2010 16:43

↑ Torpy:

Tvá úloha spíše spadá do sekce určené středoškolákům. Nicméně, podívejme se na řešení.

Z teorie posloupností v rozsahu základního středoškolského kurzu se dokazuje, že platí

$\sum_{n=1}^{N}q^n=q\cdot\frac{1-q^{N}}{1-q},\qquad q\neq 1.$

Odtud pro všechna reálná čísla $q$ taková, že $|q|<1$ , platí

$\sum_{n=1}^{\infty}q^n:=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}q^n=\frac{q}{1-q}.$

Dále, jsou li $q_1$ a $q_2$ dvě reálná čísla s vlastností $|q_1|<1$ , $|q_2|<1$ , platí

$\sum_{n=1}^{\infty}\left (q_1^n+q_2^n\right )=\sum_{n=1}^{\infty}q_1^n+\sum_{n=1}^{\infty}q_2^n.$

Proto

$\sum_{n=1}^{\infty}\left (\left (\frac{1}{2}\right )^n+\left (-\frac{1}{3}\right )^n\right )=\cdots .$

Jistě dokážeš postupovat dále samostatně.

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2010 16:11

Součet řady

#2 27. 03. 2010 16:37

Re: Součet řady

#3 27. 03. 2010 16:43

Re: Součet řady

Zápatí