Matematické Fórum

awm1 · 29. 03. 2010 22:11

Ahoj, mám úlohu:

Pomocí vytvořujících funkcí najděte explicitní vzorec pro sumu: 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2.

Ten vzorec samozřejmě znám, neb se dá odvodit jiným způsobem / najít v literatuře, avšak nevím, jak mám k němu přijít přes vytvořující funkce.
Můj dosavadní postup je takový, že jsem si odvodil vyt. funkci pro posloupnost lichých čísel, tj. (2/((1-x)^2) - 1/(1-x), a tu jsem vynásobil 1/(1-x), čímž jsem dostal posloupnost částečných součtů 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5 ..., která svými hodnotami odpovídá prvkům sumy druhých mocnin čísel, kterou chci počítat.

A tak bych potřeboval poradit, jak z tohoto stadia získat explicitní vzorec. Pokoušel jsem se použít postup pro odvození explicitního vzorce pro n-té Fibbonnacciho číslo, ale skončil jsem u hrozného paskvilu, který nikam nevedl. (Možná jsem ale pouze někde udělal chybu.)

Nemá někdo v tomto směru nápad? A nebo mám zvolit jiný postup?

Díky za odpověď.

V.

petrkovar

↑ awm1:Je to úloha 10.2.4, Kapitoly z diskrétní matematiky od Matouška a Nešetřila.
Vytvořující funkce posloupnosti samých jedniček je $1/(1-x)$ . Její DERIVACE (toto je fajn trik!) je vytvořující funkce posloupnosti $1, 2, 3, \dots$ , $n$ -tý člen je $n$ .
Druhá derivace je vytvořující funkce posloupnosti $1\cdot2, 2\cdot3, 3\cdot4, \dots$ . $n$ -tý člen je $n(n+1)=n^2+n$ .
Aha! Nyní stačí od vytvořující funkce posloupnosti $b_n = n(n+1)$ odečíst vytvořující funkci posloupnosti $a_n=n$ .

Alternativně můžeme tu první derivace nejprve vynásobit $x$ a teprve potom derivovat podruhé.

awm1 · 29. 03. 2010 22:59

Děkuji za pomoc, avšak toto je jen alternativní přístup k určení posloupnosti druhých mocnin (tu úlohu jsem si našel a moje odvození jí odpovídá). Já bych potřeboval vědět, jak mám od té vytvořující funkce odvodit explicitní vzorec pro výpočet n-tého členu - tj. 1/6(2n^3+3n^2+n).

Olin · 31. 03. 2010 21:44 — Editoval Olin (31. 03. 2010 21:45)

Chápu tedy správně, že máš vytvořující funkci pro posloupnost $\{\sum_{k=0}^n k^2\}_{n = 0}^{\infty}$ , a chceš z této vytvořující funkce zjistit předpis pro obecný člen této posloupnosti?

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2010 22:11

Explicitní vzorec

#2 29. 03. 2010 22:49 — Editoval petrkovar (29. 03. 2010 22:50)

Re: Explicitní vzorec

#3 29. 03. 2010 22:59

Re: Explicitní vzorec

#4 31. 03. 2010 21:44 — Editoval Olin (31. 03. 2010 21:45)

Re: Explicitní vzorec

Zápatí