Matematické Fórum

Keeeeke

Ahoj, potřeboval bych pomoci s jednim prikladkem na nekonecne rady, resil bych pres soustavu rovnic, ale nejde mit to.

Do rovnostranného trojúhelníku ABC o straně a je vepsán čtverec KLMN tak, že strana KL je částí úsečky AB. Úsečka KL je pak stranou dalšího rovnostranného trojúhelníku, kterému je opět stejným způsobem vepsán čtverec atd. Vypočtěte součet obsahů všech takto vzniklých čtverců.

Díky!

jarrro · 03. 04. 2010 21:14

ak stranu prvého štvorca označíme b potom platí $b^2+\left(\frac{a-b}{2}\right)^2=\left(a-b\right)^2\nl4b^2+a^2-2ab+b^2=4a^2-8ab+4b^2\nlb^2+6ab-3a^2=0\nlb=\frac{-6a+\sqrt{36a^2+12a^2}}{2}\nlb=-3a+2a\sqrt{3}\nlb=a\left(2\sqrt{3}-3\right)$
teda súčet obsahov je súčet nekonečného geometrického radu s prvým členom
$a^2\left(2\sqrt{3}-3\right)^2$ a kvocientom $\left(2\sqrt{3}-3\right)^2$ čiže súčet obsahov je
$\frac{a^2\left(2\sqrt{3}-3\right)^2}{1-\left(2\sqrt{3}-3\right)^2}$

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2010 15:28 — Editoval Keeeeke (03. 04. 2010 15:29)

Nekonečná řada

#2 03. 04. 2010 21:14

Re: Nekonečná řada

Zápatí