Matematické Fórum

zimmi · 04. 04. 2010 16:04 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 16:46)

Zdravím fórum,
se vstupem na VŠ na mě opět (bohužel :-) ) vybafla matika, tak bych se vás chtěl zeptat na radu. Mám zadání viz výše, dokonce mám i definice toho, co to jsou podprostory, akorát to nějak neumím skloubit dohromady. Dokázal by mi to někdo ukázat postup výpočtu na těchto případech? Ideálně pro případ, kdy množina je podprostorem i kdy není. Ale budu rád za jakoukoliv pomoc. Stejně tak u té linearity zobrazení.

lukaszh

↑ zimmi:

Z definície podpriestoru
$\vec{x},\vec{y}\in\mathcal{V}_4\Rightarrow\vec{x}+\vec{y}\in\mathcal{V}_4\nl\vec{z}\in\mathcal{V}_4\Rightarrow\alpha\vec{z}\in\mathcal{V}_4\,,\;\forall\alpha\in K$
kde K je pole, v našom prípade K = množina reálnych čísel. Overíme, či je toto splnené pre zadané vektory. Napríklad prípad b) to očividne nespĺňa, pretože
$\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\nl1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}y_1\nly_2\nly_3\nl1\end{bmatrix}\in\mathcal{S}\subset\mathcal{V}_4\;\rm{ale}\;\begin{bmatrix}x_1+y_1\nlx_2+y_2\nlx_3+y_3\nl2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}w_1\nlw_2\nlw_3\nl2\end{bmatrix}\notin\mathcal{S}\subset\mathcal{V}_4$
Dostali sme vektor, ktorý nemá štvrtú zložku 1, preto množina S vektorov s fixovanou štvrtou zložkou netvorí podpriestor. Keby sme však brali vektory tvaru
$\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\nl0\end{bmatrix}$
tak tieto by tvorili podpriestor.

zimmi · 04. 04. 2010 16:46 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 16:46)

Takže třeba ten příklad d) také není podprostor kvůli tomu poslednímu prvku x2x3?

lukaszh · 04. 04. 2010 16:55

↑ zimmi:

Áno, nie je. Skús to tu ukázať, prečo nie je.

zimmi · 04. 04. 2010 17:02

Nooo... tak tím už si nejsem tak úplně jist :-/

lukaszh · 04. 04. 2010 17:12

↑ zimmi:

Na tanieri to nedostaneš. Dal som príklad. Robí sa to úplne rovnako až na to, že vektory majú inú formu.

zimmi · 04. 04. 2010 17:16 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 17:42)

No laicky řečeno je to myslím proto, že ten poslední prvek není tak úplně nezávislý, protože už je definovaný dvěma jinými prvky té množiny. Takže kdybych dal do součtu třeba x1 + x2x3, neměl by to ten prostor obsahovat... ne? :-) Nebo spíš možná kdybych sečetl x2x3 + x2x3, tak by to v tom prostoru být nemělo.

lukaszh

↑ zimmi:

Zbytočne zložito. Definície sú na to, aby sa používali. Vezmeme dva vektory z tej množiny

$\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\nlx_2x_3\end{bmatrix},\begin{bmatrix}y_1\nly_2\nly_3\nly_2y_3\end{bmatrix}\in\mathcal{S}\subset\mathcal{V}_4$

Patrí ich súčet tiež do S? No nie. Pretože pretože ich súčet je
$\begin{bmatrix}x_1+y_1\nlx_2+y_2\nlx_3+y_3\nlx_2x_3+y_2y_3\end{bmatrix}$

ale podľa formičky na pečenie by malo byť
$\begin{bmatrix}x_1+y_1\nlx_2+y_2\nlx_3+y_3\nl(x_2+y_2)(x_3+y_3)\end{bmatrix}$

A platí toto ???

$x_2x_3+y_2y_3\stackrel{?}{=}(x_2+y_2)(x_3+y_3)$

zimmi · 04. 04. 2010 17:58 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 18:02)

↑ lukaszh: To vyplývá z prvního řádku tohoto? $\vec{x},\vec{y}\in\mathcal{V}_4\Rightarrow\vec{x}+\vec{y}\in\mathcal{V}_4\nl\vec{z}\in\mathcal{V}_4\Rightarrow\alpha\vec{z}\in\mathcal{V}_4\,,\;\forall\alpha\in K$

No mě napadlo, že když jsou dvojice prvků x1, y1; x2, y2; x3, y3; měl by být taky x2x3, y2y3. A místo toho je x2+y2, x3+y3. Tohle mi nejde do hlavy - proč když ten celý jeden prvek je x2x3 není ten další y2y3? Pokud se ptám hodně hloupě, omlouvám se.

Update: I když jak se na to tak dívám, začíná to dávat smysl.

lukaszh

↑ zimmi:

---------------------------------------------------------
Dodatok:

Ja som tú definíciu napísal hlúpo. Bolo treba poznamenať, že $\mathcal{S}\subset\mathcal{V}_4$ je podpriestor ak
$\vec{x},\vec{y}\in\mathcal{S}\Rightarrow\vec{x}+\vec{y}\in\mathcal{S}\nl\vec{z}\in\mathcal{S}\Rightarrow\alpha\vec{z}\in\mathcal{S}\,,\;\forall\alpha\in K$

---------------------------------------------------------
K problému:

Neviem, či si rozumieme. My máme dané dva vektory v tvare
$\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\nlx_2x_3\end{bmatrix}$
Príkladom takého vektora je napríklad
$\begin{bmatrix}1\nl2\nl3\nl2\cdot 3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\nl2\nl3\nl6\end{bmatrix}$

Skúsime to na konkrétnom príklade. Máme dané dva vektory z danej množiny. Napríklad

$\begin{bmatrix}1\nl2\nl3\nl6\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\nl8\nl6\nl48\end{bmatrix}$

Tieto sú isto z S. Spĺňajú totiž podmienku, že štvrtá zložka je súčinom druhej a tretej. Pýtame sa, či aj ich súčet je z S, t.j. vektor

$\begin{bmatrix}1\nl2\nl3\nl6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\nl8\nl6\nl48\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\nl10\nl9\nl54\end{bmatrix}$

Je? Nie je. Pretože štvrtá zložka nie je súčinom 10*9. Keď si to rozpíšeme všeobecne pre dva vektory

$\begin{bmatrix}a_1+b_1\nla_2+b_2\nla_3+b_3\nla_2a_3+b_2b_3\end{bmatrix}$

Tak posledná zložka tohto vektora nie je súčinom predchádzajúcich dvoch! Preto to nie je podpriestor.

zimmi · 04. 04. 2010 18:22

↑ lukaszh: Díky, na tom příkladě je to o dost jasnější. Pro mě jsou tyhle počty docela abstraktní pojem, takže za ten příklad jsem rád. Neměl bys ještě nějakou radu k těm příkladům na linearitu zobrazení? :-)

lukaszh · 04. 04. 2010 18:24

↑ zimmi:

Samozrejme, že "měl" :-) Mám tu pre teba jednu definíciu lineárneho zobrazenia

$T(x+y)=T(x)+T(y)\nlT(\alpha x)=\alpha T(x)$

a verím, že to zvládneš :-) Je to dosť podobné.

Olin · 04. 04. 2010 19:52

Ještě bych možná doplnil toto: ve vektorových (pod)prostorech se ještě vyžaduje existence neutrálního prvku ("nuly") vzhledem k operaci sčítání vektorů. V aritmetických vektorových prostorech je to vždycky vektor, jehož všechny složky jsou nulové. Díky tomu můžeme v příkladu 1. okamžitě vyřadit případ b), protože v tom podprostoru zřejmě chybí "nulový vektor" (0, 0, 0, 0).

V souvislosti s tím a s lineárními zobrazeními je ještě také dobré si uvědomit, že obraz nulového vektoru v libovolném lineárním zobrazení musí být nulový vektor - to nám v příkladu 2. opět okamžitě eliminuje případ b).

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2010 16:04 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 16:46)

Vektorové podprostory a zobrazení

#2 04. 04. 2010 16:21 — Editoval lukaszh (04. 04. 2010 16:23)

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#3 04. 04. 2010 16:46 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 16:46)

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#4 04. 04. 2010 16:55

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#5 04. 04. 2010 17:02

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#6 04. 04. 2010 17:12

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#7 04. 04. 2010 17:16 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 17:42)

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#8 04. 04. 2010 17:52 — Editoval lukaszh (04. 04. 2010 17:53)

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#9 04. 04. 2010 17:58 — Editoval zimmi (04. 04. 2010 18:02)

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#10 04. 04. 2010 18:13 — Editoval lukaszh (04. 04. 2010 18:13)

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#11 04. 04. 2010 18:22

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#12 04. 04. 2010 18:24

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

#13 04. 04. 2010 19:52

Re: Vektorové podprostory a zobrazení

Zápatí