Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 05. 04. 2010 22:59

Přeju dobrý večer, napadla mě jedna hříčka týkající se Bézierových křivek, nicméně problémem je pro mě spíš počítání limity, na kterou vede, budu rád, když poradíte. Uvažujme Bézierovu křivku druhého stupně (pro jednoduchost, na stupni by tipuji záležet moc nemělo) určenou třemi body v rovině( $A_0,B_0,C_0$ ). Na jednu stranu této křivky připojíme další Bézierovu křivku druhého stupně tak, aby ve společném bodě byly $C^2$ spojité (tj. aby se rovnaly jejich vektory první a druhé derivace). Tím je tato druhá křivka jednoznačně určena a souřadnice jejího řídicího polygonu můžeme určit z původně zadaných tří bodů:
$A_{n+1}=C_n$
$B_{n+1}=2C_n-B_n$
$C_{n+1}=A_n-4B_n+4C_n$ .
Tímto způsobem můžeme pokračovat v „nalepování” dalších křivek do nekonečna a mě by zajímalo, jestli takto vzniklá křivka bude mít nějaké charakteristické vlastnosti. Po chvíli experimentování se mi zdá, že se rychle napřimuje, tj. prodlužuje se její tečný vektor a zmenšuje se křivost. Nevím ale, jak to dokázat početně, jsou to vlastně tři rekurentně zadané posloupnosti bodů, ze kterých bych potřeboval vyrobit nepěkně vypadající limitu, např. pro délku tečného vektoru v bodě $A_n$ by to myslím po přepsání do souřadnic (indexy x,y) vypadalo nějak takhle:
$\mid P'_n(0) \mid =\sqrt{(-2a_{nx}+2b_{nx})^2+(-2a_{ny}+2b_{ny})^2}$ , pro křivost ještě mnohem hůře, protože tam vystupuje vektorový součin a pořádně ani nevím, jak takovou limitu pro $n\to \infty$ zapsat. Nevíte tedy prosím někdo, jak s takovýmito rekurencemi zacházet? Jediný požadavek kladený na parametry $A_0,B_0,C_0$ je $A_0\not\equiv B_0\not\equiv C_0$ . Předem děkuji

Kondr · 23. 04. 2010 01:57

Jedna možnost je říct si, že vektor $v_{n+1}=(A_{n+1},B_{n+1},C_{n+1})$ vznikne z $v_n=(A_n,B_n,C_n)$ vynásobením maticí
0 0 1
0 -1 1
1 -4 4
rozepsáním matice do na součin MJM^(-1), kde J je její Jordanův kanonický tvar dostaneme $v_n=MJ^{n}M^{-1}v_0$ , což nám dá explicitní vzorce pro $A_n,B_n,C_n$ .

Druhá možnost je upravit rovnosti tak, až nám zbude jediná neznámá (za cenu prohloubení rekurze) a pak najít explicitní vyjádření pomocí charakteristického polynomu.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2010 22:59

Spojité napojení Bézierových křivek - rekurence

#2 23. 04. 2010 01:57

Re: Spojité napojení Bézierových křivek - rekurence

Zápatí