Matematické Fórum

Marian · 09. 04. 2010 11:56

Předpokládejme, že nekonečná řada nezáporných čísel

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

konverguje k hodnotě $s_1$ . Dokažte, že pak konverguje i nekonečná řada

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{a_n}}{n}.$

Označme součet této řady symbolem $s_2$ . Najděte nějaký horní odhad pro číslo $s_2$ pomocí čísla $s_1$ .

Pavel · 09. 04. 2010 15:25 — Editoval Pavel (09. 04. 2010 15:44)

↑ Marian:

Konvergence:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Odhad:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 09. 04. 2010 16:59 — Editoval Marian (09. 04. 2010 17:09)

↑ Pavel:

Výborně!

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Další nápady jsou vítány ...

Stýv · 09. 04. 2010 17:33

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek

↑ Stýv:

Přesně tak, uvedu příklad:

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac2{2^k}=3$ , řada tedy konverguje a přitom pro libovolně velké $n_0$ najdu $n>n_0$ takové, že $a_n>\frac1n$ .

Marian · 09. 04. 2010 18:48

↑ Stýv:↑ BrozekP:

Konvergence plyne i z C-S, ten odhad byl zbytečný u Pavla. Myslím, že by to šlo napravit tak, že pro konvergentní nekonečné řady $\textstyle\sum a_n$ s kladnými členy platí $n\cdot a_n\to 0$ pokud $n\to\infty$ .

Pavel · 09. 04. 2010 19:02

↑ Stýv:, ↑ BrozekP:

Už to vidím, máte pravdu. Tak to zkusme jinak. Nechť $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je nezáporná posloupnost, pro kterou platí, že

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$

konverguje. Odsud vyplývá, že $\lim_{n\to\infty}a_n=0$ . Rozdělme členy posoupnosti do dvou disjunktních množin:

$A_1:=\left\{n\in\mathbb{N},\ a_n<\frac 1n\right\}$ a $A_2:=\left\{n\in\mathbb{N},\ a_n\geq\frac 1n\right\}$ .

Protože se jedná o posloupnost obsahující nezáporné členy, mohu psát

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\sum_{n\in A_1} a_n+\sum_{n\in A_2} a_n$ .

Protože řada na levé straně konverguje, musí také konvergovat obě řady na straně pravé.

1. Nechť $\sum_{n\in A_1} a_n$ konverguje. Pak

$\Large a_n\,<\,\frac 1n\qquad\Rightarrow\qquad \frac{a_n}{n^2}\,<\,\frac 1{n^3}\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\sqrt{a_n}}{n}\,<\,\frac 1{n^{3/2}}\,,\qquad\forall n\in A_1.$

Tzn. řada

$\sum_{n\in A_1} \frac{\sqrt{a_n}}{n}$ konverguje.

2. Nechť $\sum_{n\in A_2} a_n$ konverguje. Protože pro dostatečně velká $n\in A_2$ platí, že $0<a_n<1$ (viz limita nahoře), můžu psát

$\Large a_n\,>\,a_n^{3/2}=a_n\cdot\sqrt{a_n}\,\geq\,\frac{\sqrt{a_n}}{n}\,,\qquad n\in A_2,\ n\geq n_0.$

Opět ze srovnávacího kritéria vyplývá, že také řada

$\sum_{n\in A_2}\frac{\sqrt{a_n}}{n}$

konverguje.

Tzn. konverguje také řada $\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{a_n}}{n}=\sum_{n\in A_1}\frac{\sqrt{a_n}}{n}+\sum_{n\in A_2} \frac{\sqrt{a_n}}{n}$ .

Pavel Brožek · 09. 04. 2010 20:53

Marian napsal(a):
Myslím, že by to šlo napravit tak, že pro konvergentní nekonečné řady $\textstyle\sum a_n$ s kladnými členy platí $n\cdot a_n\to 0$ pokud $n\to\infty$ .

To neplatí, mohl bych přece uvést stejný protipříklad. Limita by neexistovala.

lukaszh · 09. 04. 2010 22:07

↑ BrozekP:

Marian chcel asi napísať, že z konvergencie $\textstyle\sum n\cdot a_n$ vyplýva $a_n\to0$ pre $n\to\infty$ . Ale to je asi mierne od veci.

Marian · 10. 04. 2010 13:51 — Editoval Marian (10. 04. 2010 13:52)

↑ BrozekP:
Ano, zapomněl jsem předpoklad o monotonii posloupnosti {a_n}. Ale tady o monotonii v zadání není řeči. To už si pletu s jinou úlohou.

↑ lukaszh:
Toto jsem nechtěl tvrdit.

Matematické Fórum

#1 09. 04. 2010 11:56

Konvergence nekonečné řady

#2 09. 04. 2010 15:25 — Editoval Pavel (09. 04. 2010 15:44)

Re: Konvergence nekonečné řady

#3 09. 04. 2010 16:59 — Editoval Marian (09. 04. 2010 17:09)

Re: Konvergence nekonečné řady

#4 09. 04. 2010 17:33

Re: Konvergence nekonečné řady

#5 09. 04. 2010 17:49 — Editoval BrozekP (09. 04. 2010 17:55)

Re: Konvergence nekonečné řady

#6 09. 04. 2010 18:48

Re: Konvergence nekonečné řady

#7 09. 04. 2010 19:02

Re: Konvergence nekonečné řady

#8 09. 04. 2010 20:53

Re: Konvergence nekonečné řady

Marian napsal(a):

#9 09. 04. 2010 22:07

Re: Konvergence nekonečné řady

#10 10. 04. 2010 13:51 — Editoval Marian (10. 04. 2010 13:52)

Re: Konvergence nekonečné řady

Zápatí