Matematické Fórum

Wolfi · 19. 04. 2010 01:23 — Editoval Wolfi (19. 04. 2010 01:26)

Hola, tak se mi sesly dva studijni materialy a v jednom z nich se prepocitava u derivaci ve smeru ten vektor smerovej na jakysi "jednotkovy tvar"
prepocitava se konkretne tady http://kmd.fp.tul.cz/lide/finek/MA2/Matematika_1.pdf .. priklad 13.23 strana 299
naopak neprepocitava se to trebas tady... Príklad 4.8. strana 13 http://mathonline.fme.vutbr.cz/download … d_file=906

Na to ze pisu test za asi 8 hodin, tak me toto poradne zmatlo :'( poprosil bych tedy o co nejstrucnejsi a rychle reseni, kdy jo a kdy ne, me to pripada jako stejnej typ prikladu, tak vubec nevim.
Diky moc, snad to nejaka dobra duse rano stihne napsat :)

lukaszh

↑ Wolfi:

Mal by byť jednotkový. Ale inak aj mňa by to zaujímalo, pretože to teraz vidím vo viacerých materiáloch.

Wolfi · 19. 04. 2010 08:33

No tak toz to ja to tam napisu, asi lepsi to tam napsat a mit to blbe, nez to tam nemit vubec :)

lukaszh

↑ Wolfi:

Ráno som nemal dostatok času, tak teraz budem pokračovať, i keď ti to už bude k ničomu. V jednej definícii sa uvádza, že smerový vektor musí byť normalizovaný, keď nájdem iný zdroj, tak tam to zase nie je. Podľa mňa je však prirodzené a správne, keď bude mať jednotkový smer. Vychádzajúc z definície derivácie pre zobrazenia $\varphi\,:\;\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ , definujeme normy na oboch priestoroch: $||\cdot ||_{n}$ je norma na definičnom obore, $||\cdot||_{m}$ je norma na obraze. Potom definujeme deriváciu ako maticu D (Jacobiho matica) typu m x n, pre ktorú
$\lim_{||\vec{\rm{\Delta}}||_n\to0}\frac{||\varphi(\vec{x}+\rm{\vec{\Delta}})-\varphi(\vec{x})-\rm{D\vec{\Delta}}||_{m}}{||\rm{\vec{\Delta}}||_n}=0$

V prípade, že uvažujeme funkciu len dvoch premenných zobrazujúcu do R, tak máme
$\lim_{(h_x,h_y)\to(0^+,0^+)}\frac{|\varphi(x+h_x,y+h_y)-\varphi(x,y)-\rm{D}(h_x,h_y)|}{||(h_x,h_y)||_2}=0$
Zvolíme za vektor
$(h_x,h_y)=\delta\vec{u}$
kde u má jednotkovú dĺžku, teda platí
$||\delta\vec{u}||=\delta$
dosadíme a máme
$\lim_{\delta\to0^+}\frac{|\varphi(x+u_x,y+u_y)-\varphi(x,y)-\delta\cdot(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)\cdot(u_x,u_y)|}{\delta}=\lim_{\delta\to0^+}\left|\frac{\varphi(x+u_x,y+u_y)-\varphi(x,y)}{\delta}-(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)\cdot(u_x,u_y)\right|$
No a ten výraz napravo je práve derivácia v smere. V prípade, že by vektor u nebol jednotkový, tak by sme mali
$||\delta\vec{u}||=\delta||\vec{u}||=?$
$\lim_{\delta\to0^+}\frac{|\varphi(x+u_x,y+u_y)-\varphi(x,y)-\delta\cdot(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)\cdot(u_x,u_y)|}{\delta||\vec{u}||}=\lim_{\delta\to0^+}\left|\frac{\varphi(x+u_x,y+u_y)-\varphi(x,y)}{\delta}-\frac{1}{||\vec{u}||}(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi)\cdot(u_x,u_y)\right|$
čiže aj tak to tou normou v postupe predelíme.