Matematické Fórum

Marian · 21. 04. 2010 14:28

Dokažte identitu

$\qquad\reverse\Large\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\,\left ( \varphi _{\small -1}\left (\tan (x)\right ) \right )=\frac{1}{\cos (2x)},\qquad\nl$

kde $\varphi (x):=\tanh (x)$ a $_{\small -1}$ značí inverzní funkci.

Pavel · 21. 04. 2010 15:19 — Editoval Pavel (21. 04. 2010 16:21)

↑ Marian:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 23. 04. 2010 13:54

↑ Pavel:

Ano, je to jedna z možností.

Dá se postupovat ovšem i tak, že lze psát

$f(x):=\varphi_{\small{-1}}(\tan (x))\qquad\Rightarrow\qquad\tanh (f(x))=\tan (x).$

Odtud podle věty o derivaci složené funkce lze najít výsledek podobně, neboť na levé straně dostaneme

$\frac{1}{\cosh ^2(f(x))}\cdot f^\prime (x)=\dots .$

Váhal jsem, zda-li úloha nepatří do sekce zajímavých úloh pro střední školu.

Pavel · 23. 04. 2010 15:11

↑ Marian:

Do střední školy bych to určitě nedával vzhledem k hyperbolickým funkcím.

Marian · 23. 04. 2010 16:52

↑ Pavel:

Dají se přece ale nadefinovat pomocí exponenciálních a v tom bych viděl ten největší oříšek. Pojem hyperbolické funkce bych nepoužil.

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2010 14:28

Derivace funkce

#2 21. 04. 2010 15:19 — Editoval Pavel (21. 04. 2010 16:21)

Re: Derivace funkce

#3 23. 04. 2010 13:54

Re: Derivace funkce

#4 23. 04. 2010 15:11

Re: Derivace funkce

#5 23. 04. 2010 16:52

Re: Derivace funkce

Zápatí