Matematické Fórum

lererin · 22. 02. 2008 23:15

Zvětšíme-li povrch krychle o 270 cm čtverečních,pak se její objem zvětší o 513

cm krychlových.Jakou hranu má krychle? Nebyla by nějaká rada,jak do toho?

Bez vyšší matematiky,pokud by to šlo.Pokud ne,tak i s ní.Dík.lererin

jelena · 22. 02. 2008 23:21

strana krychle je a, objem je a^3, povrch je 6*a^2

po zvetseni o nejake x :

(a+x)^3 = a^3 +513

6*(a+x)^2 = 6*a^2 +270

OK?

lererin · 23. 02. 2008 22:55

↑ jelena:

Díik za radu,tyto rovnice jsem také sestavila,obě upravila na nejjednodušší ,ale vyřešit neznámou a a x jsem zatím nedokázala.Pořád se motám dokola,ale i tak dík.

Marian · 25. 02. 2008 00:46 — Editoval Marian (25. 02. 2008 00:52)

Mel bych drobnou formalni pripominku. Hovorime-li o telesech, pak tyto nemaji strany (v jelenine prispevku vyse), ale hrany (viz spravne v dotazu zcela nahore).

Dale pak nemuzeme rici, ze krychle ma hranu (napr.) a = 3cm. Spravne mame tvrdit, ze krychle ma hranu a delky 3 cm.

A kreseni takto (je to jedna alternativa). Budu predpokladat, ze delka hrany krychle se zvetsila x-krat, tedy delka hrany nove vznikle krychle bude $a\cdot x$ . Protoze se jedna o zvetseni, musi jiste platit $x>1$ . Dale ze vztahu ve tvem zadni se snadno nalezne, ze plati dve rovnice:

$6(ax)^2=6a^2+270$ a $(ax)^3=a^3+513$ .

Jejich upravou mame

$a^2x^2-a^2-45=0$ a $a^3x^3-a^3-513=0$ .

Po dalsi snadne uprave (vytknuti a prevedeni absolutniho clene na pravou stranu rovnice) je

$a^2(x^2-1)=45$ a $a^3(x^3-1)=513$ .

Protoze cislo x nemuze byt rovno jednicce ( $x>1$ ), budou vyrazy $x^2-1$ a $x^3-1$ nenulove. Lze jimi tedy delit vyse uvedene rovnice. Tudiz

$a^2=\frac{45}{x^2-1}$ a $a^3=\frac{513}{x^3-1}$ .

Prvopu rovnici umocnime na treti, druhou umocnime na druhou. Tak dostaneme na levych stranach clen $a^6$ . Proto

$a^6=\frac{45^3}{(x^2-1)^3}$ a $a^6=\frac{513^2}{(x^3-1)^2}$ .

Lze tedy porovnat prave strany obou rovnic, nebot leve se shoduji. Odtud

$\frac{45^3}{(x^2-1)^3}=\frac{513^2}{(x^3-1)^2}$ .

Posledni rovnice se da pak upravit na tvar (neni to ale trivialni)

$-\frac{729(2x-3)(118x^3+413x^2+432x+162)}{(x^2-1)^3(x^2+x+1)^2}=0$ .

Odtud je videt jedine reseni teto rovnice pro $x>1$ . Je to cislo $x=\frac{3}{2}$ . Vyraz $118x^3+413x^2+432x+162$ nemuze byt nulovy, nebot pro x>1 je toto cislo souctem ctyr kladnych cisel. Zpetne bychom jeste spocitali cislo a.

Je mozno stejne ale jako jelena predpokladat, ze delka nove krychle se da apsat ve tvaru a+x a nikoliv a*x. Musi se ykusit, co je jednodussi nebo rychlejsi. Postup mnou uvedeny je dosti narocny a na ZS nepatri. Verim proto, ze existuje reseni podstatne jednodussi. Ale me neslo o to, takove reseni hledat. Chtel jsem ukazat, jak lze tuto ulohu resit mnou navrzenym zpusobem.

lererin · 25. 02. 2008 10:41

↑ Marian:

Mariane,dík.lererin.

jelena · 25. 02. 2008 12:37

↑ Marian:

Mariane, srdecne zdravim, ciste pro zajimavost - jak je tomu s nazvoslovim :

http://www.math.ru/dic/89?n=25&page … o_by=title - jinak tuto diskusi posunu do tematu "matematiky s rustinou" - v "Ostatnim" - mas tam, prosim, od nas i dotaz, predem dekuji :-).

Budu se snazit nevnaset zmatek v nazvoslovi, ale musis uznat, ze to neni snadne :-)

Kdyz lererin napsala, ze to neslo resit nejakou rozumnou upravou, tak jsem to zkousela i zvetsenim pomoci koeficientu k, ale souhlasim, neni to pro ZS.

Jeste jsem zkousela prirustky si predstavit jako samostatne utvary (krychle a kvadry), ale tento napad jeste musim se pokusi dotahnou do konce - budu muset to asi vykrojovat z bramboru nebo z brambory? :-))))

jelena · 25. 02. 2008 17:37 — Editoval jelena (25. 02. 2008 22:06)

↑ jelena:

toto je special odpoved pro Mariana - puvodni delka hrany je 7,6 cm . A zarucene se budes smat dloooho (no minimalne tak dlouho jako ja :-)

Pro lererin - zcela vazne - postup a odpoved jsem tady umistila, a jeste se omlouvam za nedostatecne cteni zadani.

jelena · 25. 02. 2008 22:04

Zdravim vas,

spravne bych tady mela prilozit obrazek, na kterem bych krasopisne vlastnorucne vypsala alespon 50 x "Budu pozorne cist zadani".

Zatim to napravim tak, ze prilozim nacrtek, ze ktereho je zrejme toto:

v zadani se nerikalo o prodlouzeni HRANY, ani STRANY, ani zadne jine DELKY, ale o zvetseni povrchu a naslednem narustu objemu.

Take se nerikalo o tom, ze vysledkem byla opet krychle.

Cely postup je zrejmy z obrazku - hrana a se prodlouzi o nejakou delku x, v dusledku cehoz u puvodni krychle se objevi "pristavek" o objemu

přírustek V = obsah základny * vyska = ax^2

Zvetseni povrchu spociva v tom, ze mame navic 4 obdelniky o obsahu ax, tj.

prirustek S = 4ax.

ax^2 = 513

4ax = 270, zbyva uz jen vyjadrit a a dosadit do prvni rovnice.

http://matematika.havrlant.net/forum/upload/676-kub.JPG

:-)

Marian · 25. 02. 2008 22:23 — Editoval Marian (25. 02. 2008 22:46)

↑ jelena:

Problem je v tom, ze ta uloha velice hezky vychazi i s dodatkem k uloze, ze puvodni teleso je krychle stejne jako teleso vysledne. Dokonce si myslim, ze tu ulohu jsem jiz resil nekdy.

Jelenina uvaha ukazuje prinejmnesim jedine, a to jak dulezite je zneni zadani. Neni mi totiz ze zadani zrejme, co znaci zvetsit krychli. Pokud beru v uvahu napriklad ulohu o duplikaci krychle, nechavam se strhavat stale tim, ze puvodni teleso i teleso vysledne musi byt krychle.
______________________________________________________________________________

EDITACE: Slovo lererin mi jednoznacne pripomina nemecke slovo "die Lehrerin", tedy ucitelka. Nejsem si jist, zda-li tedy tazatel neni ucitelem. Nebo je to pouze shoda nahod?

jelena · 25. 02. 2008 22:45

↑ Marian:

Mariane, zdravim,

take jsem podobnou ulohu jiz resila a tam se prave stavelo na tom, ze objem nejakych utvaru se zvetsoval lepenim utvaru k sobe, ale povrchu porad bylo malo - v dusledku toho lepeni a prekryvani povrchu.

Taky jsem porad v zadani videla krychli, ale to matematicke zpracovani se zda byt dost narocne na ZS, dokonce i na vicelete gymnazium - kvarta.

Treba nam neco prozradi autorka dotazu :-)

Nemam prehled, rozebira se duplikace krychle na ZS (treba jako seminarni material), nevide nekdo?

lererin · 26. 02. 2008 05:51

↑ jelena:

Vážení přátelé,

jsem ráda,že má žádost o radu rozpoutala tak živou debatu.Přesvědčila jsem se znovu o tom,že jsou stále lidé,které matematika zájímá.Pokud se týče odhalení mé bývalé profese,tak to sedí,ale jsem již ve výslužbě.A již hodně dlouho.A teď k problému,příklad jsem dostala od učitelky matematiky na ZŠ,které ho přínesl žák a ona si nevěděla rady.Zadání bylo přesně tak,jak jsem ho napsala.Duplikace krychle se v době ,kdy jsem ještě učila neprobírala,ale různé složitější příklady na objem a povrch těles ano.Jak je to teď přesně nevím.Ráda a často navštěvuji tento web .Zdravím vás všechny a děkuji za všechny rady a úvahy.

lererin

P.S.die Lehrerin je na loging příliš dlouhé,proto jen lererin!

Matematické Fórum

#1 22. 02. 2008 23:15

objem a povrch krychle

#2 22. 02. 2008 23:21

Re: objem a povrch krychle

#3 23. 02. 2008 22:55

Re: objem a povrch krychle

#4 25. 02. 2008 00:46 — Editoval Marian (25. 02. 2008 00:52)

Re: objem a povrch krychle

#5 25. 02. 2008 10:41

Re: objem a povrch krychle

#6 25. 02. 2008 12:37

Re: objem a povrch krychle

#7 25. 02. 2008 17:37 — Editoval jelena (25. 02. 2008 22:06)

Re: objem a povrch krychle

#8 25. 02. 2008 22:04

Re: objem a povrch krychle

#9 25. 02. 2008 22:23 — Editoval Marian (25. 02. 2008 22:46)

Re: objem a povrch krychle

#10 25. 02. 2008 22:45

Re: objem a povrch krychle

#11 26. 02. 2008 05:51

Re: objem a povrch krychle

Zápatí