Matematické Fórum

Susi · 25. 04. 2010 14:29 — Editoval Susi (25. 04. 2010 14:30)

Opět bych potřeboval pomoct s jedním příkladem, ale jedná se opravdu o maličkost: Zjisti zda-li je číslo $20193^7 +3027^7$ dělitelné 540. Úlohu mohu upravit na otázku zda-li 23220 dělí 540, že? Jak to ale nyní zjistit? Pokusit se vydělit 23220 číslem 540? To půjde rychleji snad ne? dík

charmar · 25. 04. 2010 15:28

Code:

http://www44.wolframalpha.com/input/?i=%2820193^7%2B3027^7%29%2F540

Susi · 25. 04. 2010 22:58

Eh? Moc nerozumim co jsi tim chtel rict, dat do kalkulacky to zvladnu taky, pointa byla jak to zjistit bez ni...

Doxxik · 25. 04. 2010 23:21

Zdravím,

kolega ↑ charmar: patrně reagoval na Tvé "Zjisti zda.." :)

jinak - ne, nemůžeš. Zkus si to na menších číslech, zda-li opravdu platí: $A^n + B^n = (A+B)^n$ a zjistíš, že tomu tak obecně není.
(např.: $2^3 + 3^3 = 8+27 = 35 \neq 125 = 5^3$ )

BakyX · 25. 04. 2010 23:34

Číslo je deliteľné 540, ak je deliteľné 4,5,9 zároveň. Na konci musí byť číslo 0, aby bolo deliteľné 5. Všimni si koncovky čísla 20193 umocnené na druhú, atď.

20193^2=---9
20193^3=---7
20193^4=---1
20193^5=---3
20193^6=---9
20193^7=---7

Čiže 20193^7 má na mieste jednotiek číslo 7, teda číslo 3027^7 sa musí končiť 3.

3027^2=---9
3027^3=---3
3027^4=---1
3027^5=---7
3027^6=---9
3027^7=---3

Toto platí. Pri zisťovaní deliteľností 4 pozrieš na dvojčíslia. Pri zisťovaní deliteľnosti 9 neviem presne ako postupovať,

Cheop · 26. 04. 2010 07:49

↑ BakyX:
Číslo je dělitelné 9, pokud jeho ciferný součet je dělitelný devíti.

Susi · 26. 04. 2010 10:43

↑ Cheop:
Jasne ale k zjisteni ciferneho souctu by to asi chtelo ty cifry, ze? :)

Stýv · 26. 04. 2010 11:05

BakyX napsal(a):
Číslo je deliteľné 540, ak je deliteľné 4,5,9 zároveň.

číslo 180 není dělitelné 540

halogan · 26. 04. 2010 11:29

Susi napsal(a):
Úlohu mohu upravit na otázku zda-li 23220 dělí 540, že?

Ano, ale pouze pokud budeš vědět, proč tak činíš. Kolega Doxxik ukázal, že úplně triviální to nebude (že $a^7 + b^7 \not\equiv (a+b)^7$ ). Ale těžké to není.

Susi napsal(a):
Jak to ale nyní zjistit? Pokusit se vydělit 23220 číslem 540? To půjde rychleji snad ne? dík

Způsobů je více. Dělení není pomalé, ale musíš se na to soustředit. Můžeš to taky udělat složitě (ale vlastně jednoduše):

1) Rozložit si 540 na prvočinitele.

2) Dělit 23220 postupně těmito čísly (jsou malá a neni jich moc, dělí se to pěkně).

3) Pokud ti vyjde přirozené číslo, tak 540 dělí 23220.

Susi · 26. 04. 2010 13:24

halogan napsal(a):
Ano, ale pouze pokud budeš vědět, proč tak činíš. Kolega Doxxik ukázal, že úplně triviální to nebude (že $a^7 + b^7 \not\equiv (a+b)^7$ ). Ale těžké to není.

Tomu nerozumim za jakych podminek to tedy plati?

halogan napsal(a):
Způsobů je více. Dělení není pomalé, ale musíš se na to soustředit. Můžeš to taky udělat složitě (ale vlastně jednoduše):

1) Rozložit si 540 na prvočinitele.

2) Dělit 23220 postupně těmito čísly (jsou malá a neni jich moc, dělí se to pěkně).

3) Pokud ti vyjde přirozené číslo, tak 540 dělí 23220.

1,2)
2*2*3*3*3*5 - co ted ale? Preci neplati ze kdyz 23220 je delitelny 2,3,5 tak ze je delitelny 540..
3) Jasne mozna ze to preci jenom bude jednodussi

halogan · 26. 04. 2010 13:31

↑ Susi:

Přímo ten zmíněný "vzorec" platí např. pro a = b = 0, ale ne obecně. Zkus si vzpomenout na nějaký opravdový vzorec, který používáte na rozklad.

Susi napsal(a):
2*2*3*3*3*5 - co ted ale? Preci neplati ze kdyz 23220 je delitelny 2,3,5 tak ze je delitelny 540..

To ani neříkám. Když je nějaké číslo, třeba 1000, dělitelné nějakým jiným číslem, třeba 20, tak platí:

$1000 = k20$ , kde $k$ je přirozené číslo.

Proto zjišťujeme, zda existuje takové $l$ , pro které platí:

$23220 = l 540$ .

Tedy platí:

$23220 = l 2 \cdot 2\cdot 5\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Když teďka budu dělit obě strany rovnice těmi činiteli, tak mi na levé straně něco vyjde. Pokud to bude přirozené číslo, tak jsme dosáhli toho, čeho jsme chtěli dosáhnout.

---

Vlastně dělám to stejné. Dělím 23220 číslem 540, ale ne najednou, ale "po kouskách". Nic víc v tom nehledej.

---

Ale napřed zjisti, proč to všechno vůbec můžeš dělat.

Susi · 26. 04. 2010 19:43

Jasné, použiji tedy vzorec $a^k-b^k=(a+b)(a^{k-1}-a^{k-2}b^1+\cdots-b^{k-1})$

=> $20193^7 +3027^7=(20193+3027)(20193^6-20193^53027^1+\cdots-3027^{6})$

$20193+3027 = 23220$ a 23220 vydělím 540 a vyjde mi celé čislo - 43.

Děkuju všem.

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2010 14:29 — Editoval Susi (25. 04. 2010 14:30)

Je číslo dělitelné 540?

#2 25. 04. 2010 15:28

Re: Je číslo dělitelné 540?

Code:

#3 25. 04. 2010 22:58

Re: Je číslo dělitelné 540?

#4 25. 04. 2010 23:21

Re: Je číslo dělitelné 540?

#5 25. 04. 2010 23:34

Re: Je číslo dělitelné 540?

#6 26. 04. 2010 07:49

Re: Je číslo dělitelné 540?

#7 26. 04. 2010 10:43

Re: Je číslo dělitelné 540?

#8 26. 04. 2010 11:05

Re: Je číslo dělitelné 540?

BakyX napsal(a):

#9 26. 04. 2010 11:29

Re: Je číslo dělitelné 540?

Susi napsal(a):

Susi napsal(a):

#10 26. 04. 2010 13:24

Re: Je číslo dělitelné 540?

halogan napsal(a):

halogan napsal(a):

#11 26. 04. 2010 13:31

Re: Je číslo dělitelné 540?

Susi napsal(a):

#12 26. 04. 2010 19:43

Re: Je číslo dělitelné 540?

Zápatí