Matematické Fórum

renewal · 26. 04. 2010 16:49

Zdravím, neviem vypočítať tento príklad a prosím niekoho o pomoc...môj pokus(vyšla mi blbosť ale je tam aj zadanie)

Ďakujem za odpoveď

Pavel Brožek · 26. 04. 2010 17:34

Úhel máš označený špatně, má to být ten druhý. Vylitá část sklenice není kužel. Pak je dobré si uvědomit, že na výšce sklenice nezáleží, pokud je úhel dostatečně malý (aby hladina neprotínala dno sklenice, může se maximálně dna dotknout).

Představ si, že máme sklenici libovolné výšky $v$ a nakloníme ji přesně tak, aby se hladina právě dotkla dna. Mělo by být zřejmé, že jsme tak vylili právě polovinu objemu sklenice. (Hladina je rovina, která rozřízne válec na dvě části, které jsou středově symetrické podle "středu válce".) Platí tedy (objem celé sklenice označím $V_s$ , objem vylité části $V$ )

$V=\frac{V_s}{2}=\frac{\pi r^2\cdot v}{2}$

Když bude sklenice takto nakloněna, bude to odpovídat úhlu naklonění plochy $\alpha$ , pro který platí

$\tan\alpha=\frac{v}{2r}$

Když z této rovnosti vyjádříme $v$ a dosadíme do rovnice pro vylitý objem, dostaneme

$V=\pi r^3\tan\alpha$

Tenhle vzoreček platí i v případech, kdy se hladina nedotýká dna, protože jak už jsem napsal, na výšce sklenice objem vylité části nezávisí.