Matematické Fórum

archipatelin

Podilova algebra je telesem [division ring] (az na pozadavek asociativity nasobni) isomorfnim s $\mathbb{R}^n$ .
Ukazalo se, ze podilove algebry mohou existovat pouze pro n=1,2,3,4. (Bott-Milnor, 1958)

Normovana podilova algebra je matematicka struktura, ktera navic k axiomum telesa pridava axiomy normy.

Bylo dokazano, ze existuji pouze 4 normovane podilove algebry: realna cisla, komplexni cisla, kvaterniony a oktoniony.
(Hurwitz, 1898)
Tento dukaz (nebo alespon jeho myslenku) se mi nepodarilo nikde najit.

A tedy je ten problem.
Nasel jsem jinou dvou-dimensionalni normovanou podilovou algebru, u ktere si myslim, ze neni isomorfni s algebrou komplexnich cisel $\mathbb{C}$
a pritom splnuje veskere axiomy kladene na tuto strukturu.

Definece algebry:
--------------------
Nejprve, pro ucel primeho srovnani, definuji algebru komplexnich cisel jako mnozinu vsech usporadanych dvojic realnych cisel.
Komplexni cislo $A$ je pak reprezentovano jako $A=(a_0,a_1)$ :

I) operace scitani je definovana po slozkach:
$A\oplus B \equiv (a_0+b_0,a_1+b_1)$ s nulovym prvkem $O=(o,o)$

II) nasobeni probyha dle nasledneho predpisu:
$A\otimes B \equiv (a_0b_0-a_1b_1, a_0b_1+a_1b_0)$ s jednotkovym prvkem $E=(1,0)$

III) na mnozine komplexnich cisel je navic definovana operace zdruzeni jako
$\tilde{A}=(a_0,-a_1)$

IV) a pomoci ni norma:
$\|A\|^2=A\otimes\tilde{A}=\tilde{A}\otimes A=a_0^2+a_1^2$

Novou algebru od komplexnich cisel odlissuje jinak definovana operace nasobeni a zdruzeneho prvku:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I) scitani stejne jako u kompexnich cisel definuji po slozkach se stejnym nulovym prvkem
$A\oplus B \equiv (a_0+b_0,a_1+b_1)$ ; nulovy prvek $O=(o,o)$

II) nasobeni je dano predpisem:
$A\odot B \equiv \frac{1}{2}(a_0b_0+a_0b_1+a_1b_0-a_1b_1,-a_0b_0+a_0b_1+a_1b_0+a_1b_1)$
s jednotkovym prvkem $I=(1,1)$

III) a zdruzeny prvek je prosta zamena poradi:
$\bar{A}=(a_1,a_0)$

IV) odpovidajici norma pak nabyva tvaru:
$\||A\||^2=A\odot\bar{A}=\bar{A}\odot A=\frac{1}{2}(a_0^2+a_1^2)$

Jak se lze presvedcit primym dosazenim takto definovane operace splnuji veskere axiomy pro normovanou podilovou algebru.

OTAZKA: jedna se o novou normovanou podilovou algebru a tedy dukaz jednoznacnosti normovanych algeber je chybny a nebo je to jen
vhodne zamaskovana algebra komplexnich cisel (rozumej isomorfni s $\mathbb{C}$ ) ?

check_drummer · 29. 04. 2010 18:10

Mám několik dotazů:
1) Proč se algenra nazývá "podílová"? Má to souvislost s kvocientní algebrou?
2) Existuje ve tvé algebře inverzní prvek vzhledem k násobení?

archipatelin · 03. 05. 2010 11:08

↑ check_drummer:
Podilova se nazyva prave proto, ze je zarucena existence jednoznacneho inverzniho prvku (jak praveho tak i leveho - jsou totozne) samozrejme az na prvek nulovy!

Formalne je podilova algebra (division algebra) definovana jako struktura v niz plati axiomy "scitani" a existuje operace nasobeni.
Nasobeni splnuje distibutativni zakony a vztah: $A\otimes B=0 \Leftrightarrow A=0 \vee B=0$ (jedna implikace plyne primo z distributativnich zakonu, kdezto druha si vynucuje existenci inverzniho prvku)

Pokud navic je v teto algebre dana norma $\||\;\cdot\;\||$ jako zobrazeni prvku algebry do $\mathbb{R}^+_0; \;\left(\||A\||=0\Leftrightarrow A=0\right)$
pak lze inverzni prvek definovat takto: $A^{-1}\equiv\frac{\bar{A}}{\||A\||^2}$

PS. presne nevim co je to kvocientni algenra.

Kondr · 04. 05. 2010 01:52

No když se rozepíše to násobení, tak to je $z_1\odot z_2=\frac{1-i}{2}z_1z_2$ . Nemělo by být těžké ukázat, že izomorfizmus z této algebry do komplexních čísel je násobení $\frac{1-i}2$ .

archipatelin · 05. 05. 2010 17:47

↑ Kondr:
Diky za odpoved. Mezi touto algebrou a algebrou komplexnich cisel existuji nasledujici transformace:
$A\odot B = \frac{1}{2}(1,-1)\otimes\left(A\otimes B\right)$
$A\otimes B = 2(0,1)\odot\left(A\odot B\right)$
$\bar{A}=(0,1)\otimes\tilde{A}$
$\tilde{A}=(1,-1)\odot\bar{A}$
a
$\||A\||=\frac{1}{2}\|A\|$
Tyto transformace jsou regulerni pohryvajici celou mnozinu vsech usporadanych dvojic realnych cisel - jedna se tedy skutecne o izomorfismus!

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2010 11:53 — Editoval archipatelin (04. 05. 2010 08:43)

Normovana podilova algebra - problem

#2 29. 04. 2010 18:10

Re: Normovana podilova algebra - problem

#3 03. 05. 2010 11:08

Re: Normovana podilova algebra - problem

#4 04. 05. 2010 01:52

Re: Normovana podilova algebra - problem

#5 05. 05. 2010 17:47

Re: Normovana podilova algebra - problem

Zápatí