Matematické Fórum

lecopivo

Zdravim,

Dostal jsem se do krizku s jednim integralem a nevim co s nim. Letmo zde popisu jak jsme se k nemu dostal.
Mejme ctverec o nejakem obsahu, pravdepodobnost ze se v nem nachazi n bodu je dana vztahem $p_1(n)= \frac{k_1^n}{n!} e^{-k_1}$ . k je nejaka konstanta.
Mejme jeste jeden ctverec s pravdepodobnosti $p_2(n)= \frac{k_2^n}{n!} e^{-k_2}$
Nyni chci vypocitat jaka je pravdepodobnost, ze je v obou ctvercich n bodu zaroven (tuto pravdepodobnost oznacme $p_0(n)$ .
zde dostavam integral $p_0(n) = \int_0^n p_1(u) p_2(n-u) du$
Tak po nekolika upravach a osekani jsem se dostal k integralu $\int_0^n \frac{e^{cu}}{\Gamma(u+1)\Gamma(n-k+1)}du$
c je nejaka konstanta
S nim si opravdu nevim rady.
Povedlo "spocitat" integral i derivaci gamma funkce, $\int_0^{\inft} \frac{t^{x-1} e^{-t}}{ln(t)}dt$ a derivace mi vysla takro $\int_0^{\inft} t^{x-1} e^{-t}ln(t)dt$

Tak kdyby mel nekdo nejaky napad co s tim byl bych rad.

Pavel Brožek · 29. 04. 2010 18:48

Musí být "počet bodů" reálné číslo? Kdyby ses spokojil s n přirozenými, pak nebudeme integrovat ale sčítat a výsledek (pokud jsem neudělal chybu) vyjde velmi hezky:

$p(n)=\frac{(k_1+k_2)^n}{n!}\rm{e}^{-(k_1+k_2)}$

Pro reálná $n$ bych čekal stejný výsledek (s gamma funkcí), jen složitější postup.

Stýv · 29. 04. 2010 19:02

↑ BrozekP: já bych spíš řekl, že počet bodů musí být přirozené číslo

lecopivo · 29. 04. 2010 22:55

BrozekP: diky, spokojim se s prirozenymi.

S tim poctem bodu, nejsem si jisty jestli to muze ci nemusi byt cele cislo, ale nepripada mi az tak spatne se ptat jaka je pravdepodobnost, ze je tam prave 2,5 bodu.

Jinak ta konstanta k je rovna soucinu obsahu prislusne oblasti a jakesi stredny "hustoty" bodu. Dale o co se pokusim nejak zjistit hodnotu "hustoty" v nejakem miste v rovine pokud mam zadane rozmisteni bodu v teto rovine. Predpokladam ze dostanu pro kazdy bod v rovine nejake pravdepodobnostni spektrum "hustot". Ale nad tim musim jeste nejak popremyslet

Stýv · 29. 04. 2010 23:26

samozřejmě je možné se ptát, jaká je pst, že tam je 2,5 bodu, ale jelikož součet p(n) přes n přirozená (včetně 0) je 1, tak na všechna nepřirozená čísla dohromady zbývá pst 0

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2010 18:28 — Editoval lecopivo (29. 04. 2010 18:29)

Pravdepodobnost, integral s gamma funkci

#2 29. 04. 2010 18:48

Re: Pravdepodobnost, integral s gamma funkci

#3 29. 04. 2010 19:02

Re: Pravdepodobnost, integral s gamma funkci

#4 29. 04. 2010 22:55

Re: Pravdepodobnost, integral s gamma funkci

#5 29. 04. 2010 23:26

Re: Pravdepodobnost, integral s gamma funkci

Zápatí