Matematické Fórum

A případ y'(t) + y(t) = 0  bys vyřešit uměl ?

Tím je potřeba začít.

Řešením rovnice  y'(t) + y(t) = 0   může být  případně konstantní funkce  y = 0 , ale to z dalších úvah vyloučíme jako nezajímavé.
Předpokládejme tedy, že v některém bodě t bude  y(t) <> 0.  Ze spojitosti funkce  y (neboť má všude vlastní derivaci) plyne, že
nerovnost y(t) <> 0 je splněna na nějakém otevřeném intervalu I. Na tomto intervalu budeme dále pracovat.

Rovnici   y'(t) + y(t) = 0  zde můžeme vydělit výrazem y(t) a dostaneme
.
Na poslední rovnici provedeme neurčitý integrál podle t   a dle známých vzorců inegrálního počtu tak obdržíme

  ln |y(t)|   + t  =  C,

kde C je volitelná integrační konstanta.  Vyřešením této logaritmické rovnice pro neznámou |y(t)| dostáváme

(1)        |y(t)| = exp (C - t)  = exp (C) . exp (-t)  = K . exp (-t)  ,

kde K je volitelná kladná konstanta  (svázaná s C  vztahem  K = exp(C)  neboli C = ln K ) .  Absolutní hodnoty v (1)
i nutnosti, aby y <> 0,  se zbavíme tak, že položíme

(2)                    y(t) = A . exp (-t)  ,

kde A je LIBOVOLNÁ konstanta.  Vzorcem (2) pak je dáno obecné řešení rovnice y'(t) + y(t) = 0 .

K obecnému řešení rovnice y'(t) + y(t) = u(t) přejdeme obratem, který se nazývá variace konstanty A.
Místo konstanty A předpokládejme nyní ve vzorci (2)  funkci A=A(t),  tedy

(3)    y(t) = A(t) . exp (-t)  ,

a funkci A hledáme takovou, aby platila rovnice  y'(t) + y(t) = u(t)  .  Dosadíme-li (3) do této rovnice, co dostaneme ?

↑ jarrro:
Děkuji, právě před chvílí jsem tento překlep objevil také (a opravil).

↑ jarrro:
To je v pohodě, není proč se omlouvat a mazat to upozornění nebylo nutné.  Jsem raději,  když mne na chybu upozorní někdo jiný, než tazatel. :-)
Chyby pramenící z nedostatečné pozornosti nebo zbrklosti jsou bohužel mojí slabou stránkou.