Matematické Fórum

xnadruhou

↑↑ BrozekP:
Ne není odsud Tuto úlohu jsem dostal od učitelky matematiky, pokud chci jedničku z MAT. Mam to mezi 1 a 2. A už se s tím peru týden. a nwm fakt co s tím.
No ta suma je mi v celku jasná až na to proč tam ten výraz (x + 2y) je nadruhou.

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 00:02

x+2y je strana čtverce, tak jeho obsah bude (x+2y)^2. Když to pak vysčítám přes všechny čtverce a vydělím jejich počtem, dostanu průměrný obsah. A ten má být roven 116.

xnadruhou · 09. 05. 2010 00:03

↑ BrozekP:
JJ jasně už chápu. No a co dál ?

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 00:15

Teď se ta suma musí nějak sečíst.

$\sum_{Y=0}^{N-1}(X+2Y)^2=\sum_{Y=0}^{N-1}(X^2+4XY+4Y^2)=\nl =\sum_{Y=0}^{N-1}X^2+\sum_{Y=0}^{N-1}4XY+\sum_{Y=0}^{N-1}4Y^2=\nl =X^2\sum_{Y=0}^{N-1}1+4X\sum_{Y=0}^{N-1}Y+4\sum_{Y=0}^{N-1}Y^2=\nl =X^2\cdot N+4X\cdot\frac{N-1+0}{2}\cdot N+4\cdot\frac16\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)=\nl =X^2\cdot N+2X\cdot(N-1)\cdot N+\frac23\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)\nl$

Určitě nebudou všechny úpravy jasné. Které chápeš a které ne?

xnadruhou · 09. 05. 2010 00:21

↑ BrozekP:
Pokud to dobře chápu, tak v první je použit vzorec x nadruhou + 2ab + b nadruhou
ve druhé jsou akorát rozděleny ty 3 členy na samostatné Sumy.
Třetí nechápu. A čtvrtou.

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 00:26

Z druhého řádku na třetí jsem se dostal vytýkáním ze sum. Ta čísla, která jsem dal před sumy jsou ve všech členech sumy stejná - mění se totiž pouze Y. Můžu pokračovat, tohle je jasné?

xnadruhou · 09. 05. 2010 00:27

↑ BrozekP:
Jj je.

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 00:30

$\sum_{Y=0}^{N-1}1=1+1+1+\ldots+1+1=N$ (N-krát sečteš jedničku)

$\sum_{Y=0}^{N-1}Y=\frac{N-1+0}{2}\cdot N$ (Tohle je součet aritmetické posloupnosti)

$\sum_{Y=0}^{N-1}Y^2=\frac16\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)$ (Tohle nevím, jak bych ti v krátkosti dokázal.)

xnadruhou

↑ BrozekP:
JJ tohle taky chápu. a tu poslední úpravu taky

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 00:33

Super. Tak teď to dosadit do tý rovnice a máš už dvě rovnice o dvou neznámých. Povede to na kvadratickou rovnici.

Pavel Brožek

Tohle je ta soustava, zbývá ji vyřešit:

$4X=X+2(N-1)$

$\frac{X^2\cdot N+2X\cdot(N-1)\cdot N+\frac23\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)}{N}=116$

To už nechám na tobě, když máš dostat tu jedničku, tak to zvládneš, ne? :-)

Loučím se, dobrou noc.

Kondr · 09. 05. 2010 00:47 — Editoval Kondr (09. 05. 2010 00:48)

BrozekP napsal(a):
$\sum_{Y=0}^{N-1}Y^2=\frac16\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)$ (Tohle nevím, jak bych ti v krátkosti dokázal.)

Klíčové slovo je "Zhouf":
http://class.pedf.cuni.cz/NewSUMA/Downl … UMA_42.pdf
Najde to i místní zdroje: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=272, http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=272

A Google taky zjistil, že úloha o Squarelandu je "mírně" upravená olympiáda pro páťáky (8 let stará).

xnadruhou · 09. 05. 2010 14:52

↑ BrozekP:
Dobře, řešil jsem to takto:
První rovnici: $4X=X+2(N-1)$
$3X=2N-2$
$3X-2N=-2$

Druhou rovnici: $\frac{X^2\cdot N+2X\cdot(N-1)\cdot N+\frac23\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)}{N}=116/*(N)$
$X^2\cdot N+2X\cdot(N-1)\cdot N+\frac23\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)=116N$
$X^2\cdot N+2X\cdot(N^2-1N)+(\frac23N-\frac23)\cdot N\cdot(2 N-1)=116N$
$X^2\cdot N+2XN^2-2XN+(\frac23N^2-\frac23N)\cdot(2 N-1)=116N$
$X^2\cdot N+2XN^2-2XN+\frac43N^3-\frac23N-\frac43N^2+\frac23N=116N/*(3)$
$3X^2\cdot N+6XN^2-6XN+4N^3-2N-4N^2+2N=348N$
$3X^2\cdot N+6XN^2-6XN+4N^3-4N^2=348N$
$3X^2\cdot N+6XN^2-6XN+4N^3-4N^2-348N=0$

Mám to dobře? Ale tady mi vznikla kubická rovnice, jak to mám řešit dál?

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 16:28

↑ xnadruhou:

Podrobně jsem to nekontroloval. Ale hned na začátku jsi tím N v druhé rovnici mohl krátit, nemusel jsi rovnici N násobit. Tím pádem ti vyjde kvadratická rovnice. Za N nebo X dosaď z první rovnice.

xnadruhou · 09. 05. 2010 16:37

↑ BrozekP:
Takže to vakrátím (n-1)?: $X^2\cdot N+2X\cdot N+\frac23\cdot N \cdot(2 N-1)=116N$

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 17:00

↑ xnadruhou:

Tak teď tedy nechápu, proč krátíš N-1, vždyť tam není co krátit. Krátit se dá jedině N.

$\frac{X^2\cdot N+2X\cdot(N-1)\cdot N+\frac23\cdot(N-1)\cdot N \cdot(2 N-1)}{N}=116\nl X^2+2X\cdot(N-1)+\frac23\cdot(N-1) \cdot(2 N-1)=116$

xnadruhou · 09. 05. 2010 17:53

↑ BrozekP:
Pardom blbě jsem si to přečet.
Ted jsem počítal. Dosadil jsem místo N. A po úpravách mi vznikla tato rovnice: $60X^2-708=0$
Z toho vyšel výsledek: $x=+-odmodnina z 59/5$ Je to dobře? Jak dál?

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 18:04

↑ xnadruhou:

Ne, to není dobře. Zkus to přepočítat.

xnadruhou · 09. 05. 2010 18:25

↑ BrozekP:
Přepočítal jsem a vyšlo mi: $31X^2+12X-116=0$

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 18:47

To taky není dobře.

xnadruhou · 09. 05. 2010 19:05

↑ BrozekP:
Tak to už fakt nevim kde mam chybu. Zde přikládám v pdfku můj postup řešení.Mé řešení

Pavel Brožek

Když "násobíš rovnici dvěma", tak některé členy násobíš čtyřmi. Vlastně děláš něco na způsob tohoto:

$2\cdot(\frac a2)\cdot(\frac b2)=(2\cdot\frac a2)\cdot(2\cdot\frac b2)=ab$

A to samozřejmě není dobře.

xnadruhou · 09. 05. 2010 21:50

↑ BrozekP:
A ted je to už dobře?
Moje řešení

Pavel Brožek · 09. 05. 2010 21:56

Ano. Tak teď už jen dopočítat N a vyloučit nesmyslné řešení.

xnadruhou · 09. 05. 2010 22:12

↑ BrozekP:
Tudíž $N =\frac{2+3x}{2}$
Dosadím první kořen $X1 = N =\frac{2+3*4}{2} = 7$
Druhý kořen, jelikož je záporný nebudu dosazovat a vyloučím ho? že ano? jak dál?

Matematické Fórum

#26 08. 05. 2010 23:45 — Editoval xnadruhou (08. 05. 2010 23:52)

Re: Squareland

#27 09. 05. 2010 00:02

Re: Squareland

#28 09. 05. 2010 00:03

Re: Squareland

#29 09. 05. 2010 00:15

Re: Squareland

#30 09. 05. 2010 00:21

Re: Squareland

#31 09. 05. 2010 00:26

Re: Squareland

#32 09. 05. 2010 00:27

Re: Squareland

#33 09. 05. 2010 00:30

Re: Squareland

#34 09. 05. 2010 00:32 — Editoval xnadruhou (09. 05. 2010 00:33)

Re: Squareland

#35 09. 05. 2010 00:33

Re: Squareland

#36 09. 05. 2010 00:36 — Editoval BrozekP (09. 05. 2010 00:38)

Re: Squareland

#37 09. 05. 2010 00:47 — Editoval Kondr (09. 05. 2010 00:48)

Re: Squareland

BrozekP napsal(a):

#38 09. 05. 2010 14:52

Re: Squareland

#39 09. 05. 2010 16:28

Re: Squareland

#40 09. 05. 2010 16:37

Re: Squareland

#41 09. 05. 2010 17:00

Re: Squareland

#42 09. 05. 2010 17:53

Re: Squareland

#43 09. 05. 2010 18:04

Re: Squareland

#44 09. 05. 2010 18:25

Re: Squareland

#45 09. 05. 2010 18:47

Re: Squareland

#46 09. 05. 2010 19:05

Re: Squareland

#47 09. 05. 2010 19:52 — Editoval BrozekP (09. 05. 2010 19:53)

Re: Squareland

#48 09. 05. 2010 21:50

Re: Squareland

#49 09. 05. 2010 21:56

Re: Squareland

#50 09. 05. 2010 22:12

Re: Squareland

Zápatí