Matematické Fórum

evik · 04. 03. 2008 14:50

Ahojte,
řeším jestli je relace, která je symetrická a tranzitivní automaticky i reflexivní. Já myslím, že ne ale mám to i dokázat. Pomužete mi napsat důkaz?
Moc dekuju Eva

robert.marik · 04. 03. 2008 16:52

V definici tranzitivnosti polozte z=x a uvidite :)

Zkusil jsem dokazovat ze je, budto to dokazu anebo uvidim, na cem by to mohlo zktroskotat a pak sestrojim protipriklad - tolik k taktice :).

evik · 04. 03. 2008 22:30

Jo fajne, tak jsem zjistila, ze je :)

evik · 08. 03. 2008 20:04

Prosím vás,
mkněte se mi někdo na to, bylo mi to vráceno na opravení. Můžete mi někdo podrobněji poradit jak to dokázat.
Děkuji

robert.marik · 09. 03. 2008 12:57

To by mě teda zajímalo, učitel tvrdí že relace která je symetrická a tranzitivní nemusí být reflexivní?

Lukee · 09. 03. 2008 13:09

Důkaz se mi dělat nechce, ale mám protipříklad ;-)

X a Y jsou libovolné výroky. $\langle X, Y \rangle \in R \Rightarrow \|X \wedge Y \| = 1$

Tahle relace je symetrická a transitivní, ale není reflexivní.

evik · 09. 03. 2008 19:50

Aha, ale ja moc nerozumim tomu zapisu...co to znamena?

Lukee · 09. 03. 2008 20:02

X a Y jsou jakékoliv výroky. X a Y jsou v relaci R, pokud mezi nimi platí konjunkce (tzn. pokud jsou oba výroky pravdivé). Jistě platí $$X \wedge Y$ \Leftrightarrow $Y \wedge X $$ , tedy platí symetrie. Stejně tak dle definice platí transitivita. Jestliže je pravdivé A a B a také je pravdivé B a C, je pravdivé i A a C. Nicméně z toho nevyplývá, že by byl pravdivý výraz X a zároveň X. Taková relace tedy není reflexivní.

evik · 09. 03. 2008 21:03

Asi se ptám blbě, ale proč to ztoho nevyplývá? :)

Lukee · 09. 03. 2008 21:14

↑ evik: Protože když budeš mít nepravdivý výrok, třeba „Slunce je modré“, tak výrok „Slunce je modré a zároveň je Slunce modré“ nedává pravdivostní hodnotu 1, tudíž ta relace nemůže být reflexivní.

robert.marik · 09. 03. 2008 21:20

No jo, už mi to došlo, kde v tom důkaze je chyba.
Pokud je v relaci aspoň s jedním prvkem, pak je v relaci i sám se sebou, jak to plyne z mého prvního příspěvku.
Prvek ale nemusí být v relaci s ničím a potom ta tranzitivate ani symetrie nepomůže.

Například relace na libovolné množině, kde nic není v relaci s ničím, je symetrická i tranzitivní, ale není reflexivní.

Díky Lukeemu za objasnění a velká omluva původní tazatece.

evik · 09. 03. 2008 21:50

Asi mi to myslí nějak pomaleji, ale ještě furt nerozumím, jak by teda ta relace musela vypadat aby, když v ní bude i výrok např. "Slunce je modré", byla symetrická a tranzitivní?

Lukee · 09. 03. 2008 22:02

↑ evik: Ono jde o to, že symetrie a transitivita platí jen pro ty dvojice prvků, které už jsou v relaci (ta definice je zapsána implikací — jestliže … potom). Samotná symetrie tedy neplatí pro všechny dvojice, ale jen pro všechny dvojice, které jsou v relaci. Ale reflexivita musí platit pro každý prvek z množiny. Žádný složený výrok s výrokem „Slunce je modré“ tedy nebude v naší relaci R a proto se „vyhne“ definici symetrie. Ale „nevyhne“ se definici reflexivity.

evik · 10. 03. 2008 13:00

↑ Lukee:
A co mysliš tím "se vyhne" symetrii? My ale mame vycházet z předpokladu, že ta relace je symetrická, nebo tp chápu furt spatne?
Zda se, ze to asi tak lehce nepochopim, snad tomu budu muset zkrátka jen uvěřit.

Lukee · 10. 03. 2008 13:38

↑ evik: Zkusím to naposledy. Mějme tuto množinu $M \subseteq \mathbb{N}; M = \{1, 2, \dots , 10\}$ . Relace R je definována jako podmnožina kartézského součinu $M \times M$ a obsahuje tyto dvojice prvků:

$R=\{\langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 1, 3 \rangle, \langle 3, 1 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 1, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle \}$

Tato relace je symetrická. Je i transitivní. Ale není reflexivní, protože v relaci není například dvojice $\langle 5,5 \rangle$ .

Když tak se pokuste o vysvětlení někdo jiný, mně se to evidentně nedaří… :-)

evik · 10. 03. 2008 14:41

Aha... už mi to je jasnejsi, moc si cenim vaseho casu a nasazeni, moc diky Eva

evik · 10. 03. 2008 14:52

No ale, jestli se můžu ještě něco k tomu zeptat,....

pod pojmem symetrie tu mám uvedeno, že
pro KAŽDÉ m1 a m2 z M platí že (m1, m2) jsou z R a potom (m2, m1) jsou z R.
V tom případě v našem uvedeném R=( (1,2), (2,1).....) nejsou obsaženy VŠECHNY.... tu to nevadí? A pro symetrii to vadí?

evik · 10. 03. 2008 14:55

hmmm... teda na konci jsem myslela pro reflexivitu to vadí? (místo " pro symetriito vadí?),
pardon

rob · 30. 03. 2008 21:15 — Editoval rob (30. 03. 2008 21:16)

Ahojte,

tiez riesim podobny problem a tiez som zial najprv "dokazal", ze reflexivita z symetrie a tranzivity vyplyva...
Dik moc Lukee za objasnenie, ze to tak nie je.

Evik,
Lukee na tvoj posledny dotaz uz odpovedal:

Lukee napsal(a):
↑ evik: Ono jde o to, že symetrie a transitivita platí jen pro ty dvojice prvků, které už jsou v relaci (ta definice je zapsána implikací — jestliže … potom). Samotná symetrie tedy neplatí pro všechny dvojice, ale jen pro všechny dvojice, které jsou v relaci. Ale reflexivita musí platit pro každý prvek z množiny. ...

k tvojej definicii pojmu symetria - chyba tam slovicko JESTLIZE:
pro KAŽDÉ m1 a m2 z M platí že JESTLIZE (m1, m2) jsou z R TAK potom (m2, m1) jsou z R

rob

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2008 14:50

Relace

#2 04. 03. 2008 16:52

Re: Relace

#3 04. 03. 2008 22:30

Re: Relace

#4 08. 03. 2008 20:04

Re: Relace

#5 09. 03. 2008 12:57

Re: Relace

#6 09. 03. 2008 13:09

Re: Relace

#7 09. 03. 2008 19:50

Re: Relace

#8 09. 03. 2008 20:02

Re: Relace

#9 09. 03. 2008 21:03

Re: Relace

#10 09. 03. 2008 21:14

Re: Relace

#11 09. 03. 2008 21:20

Re: Relace

#12 09. 03. 2008 21:50

Re: Relace

#13 09. 03. 2008 22:02

Re: Relace

#14 10. 03. 2008 13:00

Re: Relace

#15 10. 03. 2008 13:38

Re: Relace

#16 10. 03. 2008 14:41

Re: Relace

#17 10. 03. 2008 14:52

Re: Relace

#18 10. 03. 2008 14:55

Re: Relace

#19 30. 03. 2008 21:15 — Editoval rob (30. 03. 2008 21:16)

Re: Relace

Lukee napsal(a):

Zápatí