Matematické Fórum

evik · 04. 03. 2008 22:40

Řeším ještě takovýto důkaz

Dokažte, že pro libovolnou funkci f platí:

1... f (A sjednoceno B) = f(A) sjednoceno f(B)

2... f (A průnik B) je podmnožinou f(A) průnik f(B)
pričemž inkluzi nejde nahradit rovností

prosím pomozte mi alespoň se začátkem podrobněji
Děkuji Eva

Marian · 04. 03. 2008 23:04 — Editoval Marian (04. 03. 2008 23:25)

Jsou-li X, Y dve mnoziny a f: X --> Y, pak mame dokazat, ze pro kazde dve mnoziny $A,B\subset X$ plati

1. $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ ,
2. $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ .

Dukaz.

[1.] $\color{red}{}\subset\quad$ Necht $y\in f(A\cup B)$ . Pak existuje takove $x\in A\cup B$ , ze plati $y=f(x)$ . Je-li $x\in A$ , pak je $y=f(x)\in f(A)\subset f(A)\cup f(B)$ . Podobne, je-li $x\in B$ , pak $y=f(x)\in f(B)\subset f(A)\cup f(B).$

$\color{red}{}\supset\quad$ Podle definice mnoziny f(A), kde A je mnozina je zrejme $f(A)\subset f(A\cup B)$ a $f(B)\subset f(A\cup B)$ . Odtud snadno
$f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)\cup f(A\cup B)=f(A\cup B).$
Tim je prvni tvrzeni dokazano.

[2.] Dokazuje se obdobne jako [1.] Jestlize $y\in f(A\cap B)$ , pak existuje takove $x\in A\cap B$ , ze plati rovnice y=f(x). Protoze ale $x\in A$ , je $y=f(x)\in f(A)$ a zaroven ( $\scriptsize\cap$ ) $x\in B$ , je $y=f(x)\in f(B)$ . Proto $y=f(x)\in f(A)\cap f(B)$ . Odtud tudiz $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$ .

Ze nelze znak inkluze nahradit znakem pro rovnost dvou mnozin se ukaze kontraprikladem. Zkonstruuj si lehce nejaky.

Matematické Fórum

#1 04. 03. 2008 22:40

Důkaz — funkce, sjednocení definičních oborů

#2 04. 03. 2008 23:04 — Editoval Marian (04. 03. 2008 23:25)

Re: Důkaz — funkce, sjednocení definičních oborů

Zápatí