Matematické Fórum

Dworzaaa · 22. 05. 2010 16:45

Ahoj, mohli byste mi prosim nekdo ukazat, jak dokazat, ze $(\frac{70*69*...*41*21*19...*11}{90*89*...71*40*39*...*21}\)$ je mensi nez 1 a naopak, ze $\frac{70*69*...*41}{90*89*...81*40*39*...*21}\)$ ) je vetsi nez 1?
docela dost by mi to pomohlo, pac uz fakt nevim, jak si na to zajit...moc diky

Marian · 22. 05. 2010 17:55 — Editoval Marian (22. 05. 2010 18:01)

↑ Dworzaaa:

1. První problém je snadný. Stačí si spočítat počet činitelů v součinech. Zjistíme, že v čitateli i jmenovateli je jich stejný počet. Činitelé jsou v čitateli resp. ve jmenovateli seřazeni sestupně. V důsledku předchozího je možné vytvořit uspořádané dvojice prvků, kde první prvek dvojice bude i-tý činitel v součinu čitatele (bráno zleva) a druhý prvek uspořádané dvojice bude i-tý činitel v součinu jmenovatele (bráno opět zleva). To je, sestavím postupně uspořádané dvojice

(70,90), (69,89), ..., (12,20), (11,21).

Vytvořím nyní zlomky příslušející každé uspořádané dvojici takto:

70/90, 69/89, ..., 12/20, 11/21.

Protože je čitatel i-tého zlomku vždy menší než jmenovatel i-tého zlomku, bude i součin těchto zlomků menší než jedna. Součin těchto zlomků se ovšem rovná hodnotě zadaného zlomku, který tudíž musí být také menší než 1.

2. Druhý problém se dá snadno převést na s ním ekvivalentní problém ve tvaru

${80\choose 40}>{90\choose 20}.$

Zatím mě nenapadá žádná snadnější cesta, jak to ukázat.

Úvaha. Vypadá to, že bude zřejmě platit i obecně tvrzení, že pokud platí

${n_1\choose k_1}>{n_2\choose k_2},$

potom pro libovolné přirozené číslo $m$ plyne

${mn_1\choose mk_1}>{mn_2\choose mk_2}.$

Potom bz stačilo vyšetřit triviálně pouze

${8\choose 4}>{9\choose 2},$

což je pravda. Potom pro $m=10$ bychom dostali požadované tvrzení.

Pavel · 24. 05. 2010 15:27 — Editoval Pavel (24. 05. 2010 15:28)

↑ Dworzaaa:

2. tvrzení lze dokázat snadno. Stačí použí následující úvahu:

Nechť $x,y$ jsou kladná reálná čísla taková, že $x\geq y$ a $x+y=K$ , kde $K$ je fixní kladné reálné číslo. Ptejme se, kdy je součin $x\cdot y$ největší? Užitím derivací najdeme jednoduše maximum, a to $x=y=K/2$ . S rostoucím rozdílem $x-y$ se navíc součin $x\cdot y$ zmenšuje.

Převedeno do naší úlohy vyšetřujme součin $x\cdot y$ , kde $x,y\in\mathbb{N}$ , $x\geq y$ a $x+y=111$ . Pak z minulého plyne, že

$56\cdot 55>57\cdot 54>58\cdot 53>\dots>61\cdot 50>62\cdot 49>\dots>69\cdot 42>70\cdot 41>\dots>81\cdot 30>82\cdot 29>\dots>89\cdot 22>90\cdot 21>\dots>109\cdot 2>110\cdot 1.$

Zkoumaný součin lze rozložit na

$\Large \frac{70\cdot 69\cdots 42\cdot 41}{90\cdot89\cdots 82\cdot 81\cdot 40\cdot 39\cdots 22\cdot 21}=\frac{70\cdot 41}{90\cdot 21}\cdot\frac{69\cdot 42}{89\cdot 22}\,\cdots\,\frac{62\cdot 49}{82\cdot 29}\cdot\frac{61\cdot 50}{81\cdot 30}\,\cdot\,\frac{60\cdot 59\cdots 52\cdot 51}{40\cdot39\cdots 32\cdot 31}=\nl =\frac{70\cdot 41}{90\cdot 21}\cdot\frac{69\cdot 42}{89\cdot 22}\,\cdots\,\frac{62\cdot 49}{82\cdot 29}\cdot\frac{61\cdot 50}{81\cdot 30}\,\cdot\,\frac{60}{40}\cdot \frac{59}{39}\,\cdots\,\frac{52}{32}\cdot \frac{51}{31}>1,$

protože všechny zlomky v součinu jsou větší než 1.

Marian · 24. 05. 2010 17:40

↑ Pavel: Dobrá úvaha prostřednictvím vázaného extrému. Takto jsem neuvažoval. Pokud budu mít čas, pokusím se najít i řešení bez derivací, tj. varianta de luxe.

Dworzaaa · 24. 05. 2010 23:42

pekne.. :)
diky

Matematické Fórum

#1 22. 05. 2010 16:45

mensi, vetsi

#2 22. 05. 2010 17:55 — Editoval Marian (22. 05. 2010 18:01)

Re: mensi, vetsi

#3 24. 05. 2010 15:27 — Editoval Pavel (24. 05. 2010 15:28)

Re: mensi, vetsi

#4 24. 05. 2010 17:40

Re: mensi, vetsi

#5 24. 05. 2010 23:42

Re: mensi, vetsi

Zápatí