Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 05. 03. 2008 17:55

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Mocniny o záporném základu

Dobrý den,

1) uvažujme o $a$ a $b$ třeba z celých čísel (případně reálných).

$ a^b = (a^{2b})^{\frac{1}{2}} = sqrt{a^{2b}} $

Když $a$ bude záporné, tak lichá mocnina z něj udělá také záporné číslo. Pokud ale mocninu upravíme, budeme odmocňovat kladné číslo (záporné na sudou mocninu) a vyjde nám tedy kladné číslo.

$ (-2)^3 = ((-2)^6)^{\frac{1}{2}} = sqrt{(-2)^6} $

Je to nějaká neekvivalentní úprava? Jen jsem přehazoval mocniny.

2) Jak se počítají exponenciální rovnice se záporným základem?

Mějme

$ (-2)^x = -8 $

Je triviální, ale jak by se řešila matematicky? Převést na logaritmus nemůžeme, zlogaritmovat také ne.

-----

Tolik k mému středečnímu přemýšlení :) Děkuji za vysvětlení.

Offline

 

#2 05. 03. 2008 18:05

Paulman
Místo: Brno
Příspěvky: 66
Reputace:   0 
 

Re: Mocniny o záporném základu

1) Umocnění opravdu nepatří mezi ekvivalentní úpravy. Proto také po umocnění (např. u iracionálních rovnic) musíme dělat zkoušku.

2) Převedením na společný základ, jinak nevím.

Offline

 

#3 05. 03. 2008 18:11

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Mocniny o záporném základu

1) Ale já vlastně neumocňuji, jen mocniny upravuji.

2) Zrovna tady jsem to udělal stejnozákladové, ale kdyby se jednalo o různé základy a komplexnější rovnice?

Offline

 

#4 05. 03. 2008 18:34

didik
Příspěvky: 109
Reputace:   2 
 

Re: Mocniny o záporném základu

↑ Paulman:k 1) Žádné umocnění tam nevidím. Přece obecně pro každé reálné číslo platí$a=a^1=a^{\frac22}=(a^2)^{\frac12}=\sqrt {a^2}$. Podle mě jsou to všechno ekvivalentní zápisy jednoho a téhož výrazu. Možná se mýlím pokud ano vyveďte mě někdo prosím z omylu.

Vím, že nic nevím.

Offline

 

#5 05. 03. 2008 18:46

Ginco
Místo: Aš
Příspěvky: 617
Reputace:   0 
 

Re: Mocniny o záporném základu

↑ halogan:

Umocnění patří mezi důsledkové úpravy.


1) Je to to samé

2) Dáváme na stejný základ, pokud to nelze, tak logaritmuji.

Offline

 

#6 05. 03. 2008 19:53 — Editoval halogan (05. 03. 2008 19:55)

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Mocniny o záporném základu

↑ Ginco:

1) To samé? $(-2)^3 = -8 \ \sqrt{64} = 8$

2) právěže se jedná o záporné základy, takže logaritmus nepřipadá v úvahu. Nenapadá mě žádný příklad, kde nejde převést na společný základ, ptal jsem se spíše obecně.

Offline

 

#7 05. 03. 2008 20:03

robert.marik
Einstein
Příspěvky: 999
Reputace:   1 
 

Re: Mocniny o záporném základu

$(-2)^x$ je mimochodem definované jenom pro celá x. Třeba Vám pomůže si tento fakt uvědomit.

Offline

 

#8 05. 03. 2008 20:12

Ginco
Místo: Aš
Příspěvky: 617
Reputace:   0 
 

Re: Mocniny o záporném základu

↑ halogan:

dobře, v tom případě musí být to mínus před tou závorkou, kde ten základ umocňuješ na sudý exponent, ne v ní .

nebo  si to v té odmocnině rozložíš na sqrt ((-2)^2 * (-2)^2 *(-2)^2 *) = -2 * sqrt  ((-2)^2 * (-2)^2 ) = (-2) *(-2) sqrt  ((-2)^2 ) = (-2) *(-2)*(-2) = (-2)^3 = -8

Offline

 

#9 05. 03. 2008 20:38

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Mocniny o záporném základu

Ukazka prikladu, ktery jsem mel na mysli.

$ (-2)^x - (-3)^x = 19 $

Offline

 

#10 06. 03. 2008 15:39

Ginco
Místo: Aš
Příspěvky: 617
Reputace:   0 
 

Re: Mocniny o záporném základu

↑ halogan:

podle mě to nemá řešení

Offline

 

#11 06. 03. 2008 17:49

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Mocniny o záporném základu

1)
V reálných číslech např. platí

$\sqrt{x^2} = |x|$,

odkud vidíme, že s těmi úpravami mocnin to tak jednoduché není. Je třeba si uvědomit, že

$(x^a)^b = x^{ab}$

platí obecně pouze tehdy, pokud x^a je prostá funkce (možná ani tehdy ne, opravte mě, pokud se mýlím).

2)
Toto by šlo řešit přes komplexní čísla, kde by to zlogaritmovat šlo.

Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#12 06. 03. 2008 19:17

halogan
Ondřej
Místo: UK
Příspěvky: 4528
Škola: IES FSV UK (09-12, Bc.)
Pozice: student
Reputace:   106 
 

Re: Mocniny o záporném základu

↑ Olin:

1) Děkuji, já právě nevěděl, zda odmocnina může být záporná (tj. absolutní hodnota) a zdroje se lišily (zdejší web, česká wiki a anglická wiki).

"platí obecně pouze tehdy, pokud x^a je prostá funkce" - to jsem chtěl slyšet :))

2) Ah tak. Ještě jsme komplexní čísla nebrali, tak aspoň vím. Děkuji.

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson