Matematické Fórum

josefdolejs · 01. 06. 2010 18:51

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:
Ukažte, že množina nenulových reálných čísel tvaru a+b*(2^(1/2)) , kde a, b náleží Q vybavená operací násobení tvoří grupu.

Moje "řešení":
1) asociativita
násobení je asociativní => splněno

2) existence neutrálního prvku
x*n = x => n = 1
ověření, zda je "n" opravdu prvkem zadané množiny: a+b*(2^(1/2))=n=1 => a=1, b=0; a, b náleží Q => splněno

3) existence inverzního prvku
x*y = n
(a+b*(2^(1/2))) * (c+d*(2^(1/2))) = 1
a+b*(2^(1/2)) = 1 / (c+d*(2^(1/2)))
c+d*(2^(1/2)) bude vždy nenulové - viz zadání => inverzní prvek vždy existuje => splněno
Je to správně? Stačí to takto jako "důkaz"?

4) pokud má být grupa Abelova - musí platit komutativita
násobení je komutativní => splněno

Pokud je 1) 2) 3) splněno - tvoří grupu.
Pokud je 1) 2) 3) 4) splněno - tvoří Abelovu grupu.

Prosím o schválení, popř. opravení nebo doplnění mého postupu.
Předem děkuji!

Pavel Brožek · 01. 06. 2010 19:15

Ahoj,

3) to podle mě není správně, neukázal jsi, že pro daná $c$ a $d$ skutečně existují taková $a$ a $b$ , že $a+b\sqrt2=\frac1{c+d\sqrt2}$ .

check_drummer · 01. 06. 2010 21:13

Ahoj,
nevidím (možní opravdu jen nevidím) uzavřenost na grupovou operaci.

josefdolejs · 01. 06. 2010 21:59

↑ BrozekP:Jj, toho jsem se obával, že to stačit nebude...bohužel netuším jak to dokázat...

josefdolejs · 01. 06. 2010 22:00

↑ check_drummer:Přiznám se, že vůbec nevím, co si pod pojmem uzavřenosti na grupovou operaci mám představit - ve skriptech o tom také žádnou zmíňku nevidím (možná opravdu jen nevidím :-) ). Našel jsem tam jen 3 (4) podmínky, které se snažím ověřit výše.

Kondr · 01. 06. 2010 22:14

↑ josefdolejs: No je třeba ověřit, že když vezmeme prvky p,q z G, tak i jejich součin je z G.

V tomhle případě vlastně dokazujeme, že $(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]^{\times},\cdot)$ je podgrupou $(\mathbb{R^{\times}},\cdot)$ (to značení $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]$ je zkratka pro množina reálných čísel tvaru a+b*(2^(1/2)) , kde a, b náleží $\mathbb{Q}$ , $X^{\times}$ je množina invertibilních (nenulových) prvků z X).

Když se dokazuje, že je $(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]^{\times},\cdot)$ podgrupou $(\mathbb{R^{\times}},\cdot)$ , stačí ukázat uzavřenost na násobení a na inverzi. Tedy ověřit, že
* součin prvků v $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]^{\times}$ je z $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]^{\times}$
* převrácená hodnota prvku z $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]^{\times}$ je z $\mathbb{Q}[\sqrt{2}]^{\times}$
To první je snadné, k tomu druhému poradím, že stačí rozšířit zlomek 1 / (c+d*(2^(1/2))) číslem (c-d*(2^(1/2))).

josefdolejs

↑ Kondr: Díky moc za nápovědu! Doufám, že je to takto správně:

(a+b*(2^(1/2))) * (c+d*(2^(1/2))) = ac + ad*(2^(1/2) + bc*(2^(1/2) + 2bd = (2^(1/2)*(ad+bc) + ac + 2bd =
= |substituce| = k+l*(2^(1/2) => součin je z G

(1 / (c+d*(2^(1/2)))) * ((c-d*(2^(1/2))) / (c-d*(2^(1/2)))) = (c-d*(2^(1/2))) / (c^2-2d^2) = c/(c^2-2d^2) - (d/(c^2-2d^2))*(2^(1/2) =
= |substituce| = k+l*(2^(1/2) => převrácená hodnota je z G

Kondr · 02. 06. 2010 11:00

↑ josefdolejs: Ano, je.

Berny · 21. 06. 2011 19:46 — Editoval Berny (21. 06. 2011 19:47)

AHoj, jen ze se vracim k tomuto prikladu:

Chapu spravne ze pokud je tato mnozina vybena operaci nasobeni, tak neutralni prvek, pro tuten pripad bude 1, ale kdyby byla mnozina vybavena operaci scitani, tak bude 0?

A v kroku 3 by se tedy postupovalo:
$(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2) = 0 => (a + b\sqrt2) = -(c + d\sqrt2)$

ale pak jiz nejak nechapu jak to dokazat? Cetl jsem to 2x, ale jsem z toho cely zmateny.

DIky

musixx · 22. 06. 2011 08:31

Jen bych obecně dodal, že při dokazování "podgrup" jak píše Kondr v #6 stačí vždy ukázat jen uzavřenost na operaci (násobení, sčítání, ...) a inverzi (prvek opačný). Není těžké ukázat, že pak podgrupa už musí obsahovat i prvek neutrální (nebo ať už mu říkáme jakkoli: jednička, nula, ...) a že jde o strukturu asociativní.

Navíc komutativita se taktéž "podědí": komutativní struktura nemůže mít nekomutativní podstrukturu (naopak tomu ale být může).

Berny · 22. 06. 2011 12:49 — Editoval Berny (22. 06. 2011 13:04)

No, ja trosku nerozumim tomu pojmu ukazat uzavřenost? počítal jsem u tohoto konretniho pripadu jako josefdolejs, ale bohuzel jsem se nedostal tak daleko :)

takto: $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = ac + ad\sqrt2 + cd\sqrt2 + 2bd$ ale co s tim dal delat jaksi nevim.

k tomu druhému poradím, že stačí rozšířit zlomek 1 / (c+d*(2^(1/2))) číslem (c-d*(2^(1/2))).

Z tohoto jsem pochopil,ze by druhy pripad mel vypada takto

$\frac{1}{(c+d\sqrt2)} * \frac{(c-d\sqrt2)}{c-d\sqrt2} = \frac{(c-d\sqrt2)}{(c+d\sqrt2)(c-d\sqrt2)}$

Prosim o pomoc, nejaky vysvetleni uplne polopate. Dekuji

jarrro · 22. 06. 2011 14:24

↑ Berny: $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = ac + ad\sqrt2 + bc\sqrt2 + 2bd=\left(ac+2bd\right)+\left(ad+bc\right)\sqrt{2}$ ak sú a,b,c,d racionálne tak aj výrazy v zátvorkách sú racionálne a násobením nenúl nedostaneš v reálnych číslach nulu teda je to uzavreté na násobenie
podobne
$\frac{1}{(c+d\sqrt2)} * \frac{(c-d\sqrt2)}{c-d\sqrt2} = \frac{c-d\sqrt2}{c^2-2d^2} =\frac{c}{c^2-2d^2}+\frac{-d}{c^2-2d^2}\cdot\sqrt{2}$ ak sú c,d racionálne tak aj tie zlomky sú racionálne nulu v menovateli nedostaneš,lebo žiadna mocnina racionálneho čísla nie je dvojnásobok mocniny racionálneho čísla teda je to uzavreté aj na inverziu

Berny · 22. 06. 2011 16:15 — Editoval Berny (22. 06. 2011 20:00)

Super, dekuji moc.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2010 18:51

Grupy

#2 01. 06. 2010 19:15

Re: Grupy

#3 01. 06. 2010 21:13

Re: Grupy

#4 01. 06. 2010 21:59

Re: Grupy

#5 01. 06. 2010 22:00

Re: Grupy

#6 01. 06. 2010 22:14

Re: Grupy

#7 02. 06. 2010 08:41 — Editoval josefdolejs (02. 06. 2010 08:52)

Re: Grupy

#8 02. 06. 2010 11:00

Re: Grupy

#9 21. 06. 2011 19:46 — Editoval Berny (21. 06. 2011 19:47)

Re: Grupy

#10 22. 06. 2011 08:31

Re: Grupy

#11 22. 06. 2011 12:49 — Editoval Berny (22. 06. 2011 13:04)

Re: Grupy

#12 22. 06. 2011 14:24

Re: Grupy

#13 22. 06. 2011 16:15 — Editoval Berny (22. 06. 2011 20:00)

Re: Grupy

Zápatí