Matematické Fórum

jay · 02. 06. 2010 00:58

Zdravím,

nevím si rady s příkladem s následujícím zadáním a tak bych opět rád požádal nějakou dobrou duši o vysvětlení, jak na to jít...

Zobrazení $T:V_3(R)\rightarrow V_3(R)$ je určeno pomocí obrazů souřadnic vektoru $T(x) \ pro\ x\ \epsilon \ V_3 (R)$

Zjistěte, zda uvedená zobrazení T jsou lineárními zobrezeními; jestliže ano, určete odpovídající matice těchto zobrazení ve stejné bázi, v jaké jsou určeny souřadnice vektorů $x \ a \ T(x)$

$T(x)\ =\ (x_1\ +\ x_3\ ,\ 2x_1\ +\ x_3\ , \ 3x_1 - x_2 + x_3)$

Předem díky za radu

jay · 02. 06. 2010 17:09

Trošku jsem s tím pohnul... Ovšem pořád nevím jak se dopátrat výsledku.

Pokud jsem aplikoval GEM a nevypadl mi žádný řádek, vektory by měly být lineárně nezávislé.

Jak ale určím jiné než triviální řešení?

Balcik · 22. 06. 2010 21:20

mohl bys mi, nebo někdo jiný poslat postup, jak jsi k tomu došel? nějak tomu nerozumím...

LukasM · 22. 06. 2010 21:47 — Editoval LukasM (23. 06. 2010 10:42)

↑ Balcik:
Ahoj. Řekl bych že je dobře že jsi tohle téma oživil, to v příspěvku #2 je něco jiného než se chce v zadání, a divím se že na to nikdo neupozornil.

Jdeme určovat jestli je dané zobrazení lineární - musí být tedy aditivní a homogenní.

homogenita: musí platit, že $T(\lambda x)=\lambda T(x)$ - vyzkoušejme to. Vezmeme si nějaký obecný vektor $(x_1,x_2,x_3)$ , vynásobíme ho $\lambda$ , čímž dostaneme vektor $(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)$ a vypočítáme hodnotu zobrazení T na tomto vektoru: $T(\lambda x)=(\ \lambda x_1+\lambda x_3\ ,\ 2\lambda x_1+\lambda x_3\ ,\ 3\lambda x_1-\lambda x_2+\lambda x_3\ )=\nl=(\ \lambda (x_1+x_3)\ ,\ \lambda (2x_1+x_3)\ ,\ \lambda (3x_1-x_2+x_3)\ )=\nl=\lambda (\ x_1+x_3\ ,\ 2x_1+x_3\ ,\ 3x_1-x_2+x_3\ )=\lambda T(x)$ . Zobrazení tedy je homogenní.

Aditivita se ověří analogicky, vezmou se dva obecné vektory, třeba $(x_1,x_2,x_3)$ a $(y_1,y_2,y_3)$ , a vypočítá se hodnota zobrazení na jejich součtu. Pokud má být zobrazení aditivní, musí platit $T(x+y)=T(x)+T(y)$ .

Matice zobrazení se sestaví z definice - ve sloupcích musí stát obrazy jednotlivých bázových vektorů. V našem případě bude ona matice v příslušných bázich $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \nl 0 & 0 & -1 \nl 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Jestli mám někde chybu, opravte mně prosím. Po dnešní zkoušce z analýzy jsem už dost načatej.

vanok · 26. 05. 2014 13:59 — Editoval vanok (26. 05. 2014 17:38)

prispevok 2 je necitatelny, cize nikto ho nemohol komentovat.

Poznamka :
V predoslom prispevku metoda na overenie linerity je ok.

Znacenia vseobecne pouzivane sa najdu tu
http://en.wikipedia.org/wiki/Transformation_matrix

Cize maticovy zapis a funkciovy zapis su podobne
Y= AX, kde A je matica applikacie T podla baz B vo " vychodovom" priestore a B' v priestore obrazu. Matice X, Y su pisane ako stlpcove matice.
Porovnaj to zo zapisom y=T(x).

V danom cviceni, ako je to poznamenane, treba uvazovat stardandne baze.
Co da:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

Zial niektori autory vsetko pisu v transpozovanej forme, co potom casto desorientuje studentov. Ak sa take znacenie pouziva, tak je dobre na to upozornit.

Rada: najlepsie je vybrat zapis aky ste pouziili v skole.( ale treba vediet, ze oba existuju)
Inac v takychto cviceniach je casto pytane nast jadro a obraz danej aplikacie. Dufam, ze vies ako sa to riesi.

KellyLund

Ahoj,

lámu si hlavu s tím samým příkladem. Zda je zobrazení lineární už chápu, ale pořád se nemohu dopracovat k té matici zobrazení ve stejné bázi, v jaké jsou určeny souřadnice vektorů.

Výsledek by podle skript měl být:

$M^{T} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Nevíte, jak se k němu dopracovat?

Předem díky moc.

OndrasV · 28. 05. 2014 15:15

↑ KellyLund: Zkontroluj si zadání a to vztah pro první složku zoborazení, nemá náhodou být $T(x)\ =\ (x_1\ +\ x_2\ ,\ 2x_1\ +\ x_3\ , \ 3x_1 - x_2 + x_3)$ $T(x)\ =\ (x_1\ +\ x_3\ ,\ 2x_1\ +\ x_3\ , \ 3x_1 - x_2 + x_3)$ $T(x)\ =\ (x_1\ +\ x_3\ ,\ 2x_1\ +\ x_3\ , \ 3x_1 - x_2 + x_3)$ ?

KellyLund

↑ OndrasV: Přesné zadání je:

Zobrazení $T:V_3(R)\rightarrow V_3(R)$ je určeno pomocí obrazů souřadnic vektoru $T(x)$ pro $x\in V_{3}(R)$ . Zjistěte, zda uvedená zobrazení $T$ jsou lineárními zobrazeními; jestliže ano, určitě odpovídající matice těchto zobrazení ve stejné bázi, v jaké jsou určeny souřadnice vektorů $x$ a $T(x)$ :

$T(x) = (x_{1}+ x_{3}, 2x_{1} + x_{3}, 3x_{1} - x_{2} + x_{3})$

LukasM · 29. 05. 2014 23:10

↑ KellyLund:
Matice takového zobrazení se dá snadno sestavit z definice, ve sloupcích stojí obrazy bázových vektorů, tedy vektorů (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Výsledná matice pak vypadá takhle:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Ta moje matice v příspěvku #4 správně není, tam jsem ty obrazy omylem napsal do řádků (ačkoli předtím píšu že mají být ve sloupcích). Zajímavý opravovat chybu, kterou jsem udělal před čtyřmi lety :-)

Výsledek ze skript se mi nezdá být dobře, to by muselo být $T(x) = (x_{2}+ x_{3}, 2x_{1} + x_{3}, 3x_{1} - x_{2} + x_{3})$ , jestli se nepletu.

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2010 00:58

Lineární zobrazení, určení báze

#2 02. 06. 2010 17:09

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#3 22. 06. 2010 21:20

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#4 22. 06. 2010 21:47 — Editoval LukasM (23. 06. 2010 10:42)

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#5 26. 05. 2014 13:59 — Editoval vanok (26. 05. 2014 17:38)

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#6 28. 05. 2014 15:11 — Editoval KellyLund (28. 05. 2014 15:12)

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#7 28. 05. 2014 15:15

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#8 28. 05. 2014 15:40 Příspěvek uživatele KellyLund byl skryt uživatelem KellyLund. Důvod: špatné zobrazení

#9 28. 05. 2014 15:48 — Editoval KellyLund (28. 05. 2014 15:49)

Re: Lineární zobrazení, určení báze

#10 29. 05. 2014 23:10

Re: Lineární zobrazení, určení báze

Zápatí