Matematické Fórum

Pavel · 02. 06. 2010 14:39

Najděte součet řady

$\Large \sum_{i=0}^{101}\ \frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}\qquad \text{kde}\qquad x_i=\frac i{101}\,,\quad i\in\{0,1,\,\ldots\,,100,101\}.$

Marian · 02. 06. 2010 15:04 — Editoval Marian (02. 06. 2010 15:14)

↑ Pavel:

S řešením je to takto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Připomínám, že by bylo možné velmi efektivně použít úlohu pro demonstraci výpočtu Riemannova součtu příslušející funkci $x^3/(1-3x+3x^2)$ na intervalu $[0,1]$ na střední škole. Snadno totiž jednoduchým zobecněním úlohy a vyvozením důsledků pro Riemannův integrál při ekvidistantním dělení plyne (bez jakéhokoli dalšího počítání)

$\int_{0}^{1}\frac{x^3}{1-3x+3x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2},$

o čemž svědčí asymptotický charakter zkoumané sumy.