Matematické Fórum

easy · 02. 06. 2010 18:41 — Editoval easy (02. 06. 2010 19:27)

Dobrý den,

při procházení starých maturitních zadaní jsem narazil na tento příklad (nejedná se o maturitu v ČR).

EN:A water tank has the shape of an inverted right circular cone with a radius of R units at the top and a height (from vertex to top) of H units. A small hole with cross-sectional area k square units allows water to leak out of the tank at the vertex with a velocity of Sqrt(2gh) units per second, where the depth of the water in the tank is h units and g is the acceleration of gravity in units per second squared. If water is being pumped into the tank at a uniform rate of c cubic units per second, find a formula for the rate at which the water level is changing.

CZ: Nádoba s vodou má tvar otočeného kuželu s poloměrem R jednotek na vrchu a výškou (od vrcholu k horní hraně) H jednotek. Malý otvor s obsahem k jednotek na druhou umožňuje vodě odtékat z nádoby přes otvor rychlostí Sqrt(2gh) jednotek ze sekundu. Výška vody v nádobě je h jednotek a g je gravitační zrychlení (jednotky na druhou / sec). Pokud přidáváme vodu do nádoby konstantní měrou c v kubických jednotkách za sekundu, najděte vzorec který by vyjadřoval míru podle které se mění hladina vody.

Dostal jsem se akorát k nákresu, nevím jak postupovat dál.

Omlouvám se za kostrbatý překlad, už češtinu moc nepoužívám.

Děkuji za jakoukoliv radu.

Pavel Brožek

Cone je kužel, ne jehlan.

Hladina má tvar kruhu, označme si jeho poloměr $r$ . Z podobnosti trojúhelníků plyne

$\frac rh=\frac RH$ .

Aktuální objem vody v nádobě bude roven (používám vzorec pro objem kužele)

$V=\frac13\pi r^2h=\frac{\pi R^2}{3H^2}h^3$ .

Změna objemu za jednotku času se bude rovna množství vody přitékající za jednotku času mínus množství vody odtékající za jednotku času:

$\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t}=Q_{in}-Q_{out}=c-Q_{out}$ .

Voda odtéká rychlostí $v$ otvorem o průřezu $k$ , průtok bude součinem těchto veličin.

$\frac{\rm{d}V}{\rm{d}t}=c-k\sqrt{2gh}$

Dosadím nalevo za objem:

$\frac{\pi R^2}{H^2}\cdot\frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}=c-k\sqrt{2gh}$

To je diferenciální rovnice pro funkci $h(t)$ , kterou by neměl být problém vyřešit. Ale nemusíme ji vůbec řešit, pokud nám stačí vědět, jestli se bude hladina zvyšovat nebo snižovat. To nám říká znaménko pravé strany. Pokud se nás ptají jak se hladina mění s časem, tak odpověď bude

$\frac{\rm{d}h}{\rm{d}t}=\frac{H^2}{\pi R^2}$c-k\sqrt{2gh}$$ .

easy · 02. 06. 2010 19:29 — Editoval easy (02. 06. 2010 19:29)

Děkuju.

easy · 02. 06. 2010 20:07

Jen jeden dotaz, po tom co jste vyjádřil V za pomocí podobnosti trojúhelníku jste jí implicitně zderivoval abyste dostal dV/dt ??

V předposledním kroku kde dosazujete za dV/dt, pokud ale implicitně derivujete $V=\frac{\pi R^2}{3H^2}h^3$ neměla by ta derivace vypadat takto?

Wolfram

Pavel Brožek · 02. 06. 2010 20:20

↑ easy:

Můžeme si tykat, jak je tady na fóru obvyklé, pokud nemáš/nemáte nic proti.

To je to samé. Jen Wolfram neví, že R a H se s časem nemění (nikdo mu to neřekl), tak tam ty derivace všechny vypisuje. Já vím, že R a H jsou konstanty, proto jejich derivaci považuji za nulovou.

easy · 02. 06. 2010 20:42

Problém s tím samozřejmě nemám, děkuji za pomoc.

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2010 18:41 — Editoval easy (02. 06. 2010 19:27)

Related Rates

#2 02. 06. 2010 19:06 — Editoval BrozekP (02. 06. 2010 19:11)

Re: Related Rates

#3 02. 06. 2010 19:29 — Editoval easy (02. 06. 2010 19:29)

Re: Related Rates

#4 02. 06. 2010 20:07

Re: Related Rates

#5 02. 06. 2010 20:20

Re: Related Rates

#6 02. 06. 2010 20:42

Re: Related Rates

Zápatí