Matematické Fórum

Petr91 · 07. 06. 2010 11:16 — Editoval Petr91 (07. 06. 2010 11:17)

Ahoj mám rovnici, a nechápu proč mi vychází 210° namísto 240°, která mají podle učebnice vyjít:

Mám rovnici:

2sin(2x+π)+√3=0

Zavedu substituci:

y=(2x+π)

siny=-√3/2
siny=-60°

Hledám tedy ve III a IV kvadrantu:

x1=270-60+k360°
x1=210+k360° !! Má ale vyjít 240° !! Nerozumím proč tomu tak je.

x2=360-60+k360°
x2=300+k360°

Děkuji předem za vysvětlení.

cabek · 07. 06. 2010 11:34

↑ Petr91:
ve třetím kvadrantu je třeba k výsledku přičíst 180°, tudíž x1= 60°+180°+k360°

Petr91 · 07. 06. 2010 11:36

cabek napsal(a):
↑ Petr91:
ve třetím kvadrantu je třeba k výsledku přičíst 180°, tudíž x1= 60°+180°+k360°

A to je jen u třetího kvadrantu, že počítám 180+číslo?

Platí to i pro sin,cos,tg a cotg?

Cheop · 07. 06. 2010 12:00

↑ Petr91:
$2\,\sin(2x+\pi)+\sqrt3=0\nl\sin(2x+\pi)=-\frac{\sqrt3}{2}$
Substituce $2x+\pi=y$
$\sin\,y=-\frac{\sqrt3}{2}\nly_1=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\nly_2=\frac{5\pi}{3}+2k\pi$
Vratka k substituci:
1)
$2x+\pi=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\nl2x=\frac\pi3+2k\pi\nlx_1=\frac\pi6+k\pi$
2)
$2x+\pi=\frac{5\pi}{3}+2k\pi\nl2x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\nlx_2=\frac\pi3+k\pi$

gadgetka · 07. 06. 2010 12:09

Pomůcka:
Je-li $x_0 \in (0;\frac{\pi}{2})$ kořenem goniometrické rovnice, pak kořeny v jednotlivých kvdrantech určíš následovně:

$\rm{1. kvadrant:}\nl x=x_0$

$\rm{2. kvadrant:}\nl x=\pi-x_0$

$\rm{3. kvadrant:}\nl x=\pi+x_0$

$\rm{4. kvadrant:}\nl x=2\pi -x_0$

Petr91 · 07. 06. 2010 12:26 — Editoval Petr91 (07. 06. 2010 12:30)

gadgetka napsal(a):
Pomůcka:
Je-li $x_0 \in (0;\frac{\pi}{2})$ kořenem goniometrické rovnice, pak kořeny v jednotlivých kvdrantech určíš následovně:

$\rm{1. kvadrant:}\nl x=x_0$

$\rm{2. kvadrant:}\nl x=\pi-x_0$

$\rm{3. kvadrant:}\nl x=\pi+x_0$

$\rm{4. kvadrant:}\nl x=2\pi -x_0$

Chápu to dobře tak, že když je $x_0$ od 0° do 90°, tak:

- 1 kvadrant = $x_0$
- 2 kvadrant = $180-x_0$
- 3 kvadrant = $180+x_0$
- 4 kvadrant = $360-x_0$

A v případě, že $x_0$ je v rozmezí 90° až 360° tak jen odečítám?

gadgetka

... tak děláš všechny uvedené operace pro ten daný kvadrant; rozmezí 90-360° jsou II.-IV. kvadrant, protože x_0 je řešením vždy v prvním kvadrantu

Cheop · 07. 06. 2010 12:45

↑ Petr91:
Máš rovnici:
$\sin\,x=-\frac 12$
Pro tuto chvíli pomineš to mínus před 1/2 a řešíš:
$\sin\,x=\frac 12$ - toto odpovídá úhlu:
$\sin\,x=\frac 12\nlx_0=\frac{\pi}{6}=30^\circ$
Nyní se vrátíš k tomu, že ve skutečnosti v původní rovnici je sinus záporný
Sinus je záporný ve III. a IV. kvadrantu tj. řešení bude dle gadetky:
$x_1=x_0+180\nlx_2=360-x_0\nlx_1=210^\circ\nlx_2=330^\circ$