Matematické Fórum

hradecek · 07. 06. 2010 22:01

V obore reálnych čísel riešte sústavu rovníc:
$\sqrt{x^2-y}=z-1\nl \sqrt{y^2-z}=x-1\nl \sqrt{z^2-x}=y-1$

Ja som to riešil Gaussovou eliminačnou metódou, som zvedavý na ďaľšie napády...

BakyX · 07. 06. 2010 22:36

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek · 07. 06. 2010 22:37

↑ hradecek:

Jsem si jistý, že už se tu přesně tahle soustava řešila. Ale vůbec to teď nemůžu najít :-).

check_drummer · 07. 06. 2010 22:50

Je to spíše téma k diskusi:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pavel Brožek · 07. 06. 2010 23:13

↑ check_drummer:

Např.

$x^2=1\nl y^2=1\nl z^2=1$

má i spoustu "nesymetrických řešení".

FailED · 07. 06. 2010 23:28 — Editoval FailED (08. 06. 2010 11:39)

↑ hradecek:
Je to úloha z letošní MO, A, domácí kolo. Na stránkách mají stejné řešení jako ↑ BakyX: + jedno další -link-

Neříkám že je to nejlepší postup, jen mi to při počítání přišlo jako dobrý nápad. :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

↑ check_drummer:
Bohužel to tak není, příklad:

hradecek · 08. 06. 2010 11:22

↑ BrozekP:
Aj ja som hľadal či už sa náhodou neriešil, ale nenašiel som...

Pavel Brožek · 08. 06. 2010 11:45

↑ hradecek:

Jen dodám, že můj příspěvek rozhodně nebyl myšlen jako výtka :-). Jen by v tom tématu mohly být další užitečné postupy a myšlenky.

Pavel Brožek · 08. 06. 2010 13:48

↑ Marian:

Myslím, že jsi zaměnil nerovnost za obrácenou. $x\ge 1,\qquad y\ge 1,\qquad z\ge 1$ a $x+y+z\ge 3$ je splněno např. i pro $x=y=z=2$ .

Marian · 08. 06. 2010 14:04

↑ BrozekP: Ano, škaredě jsem to přehlédnul. Souhlasím.

check_drummer · 08. 06. 2010 17:41

↑ BrozekP:

Zpřísněme tedy požadavky: Mějme soustavu:
f(x,y,z)=0
f(z,x,y)=0
f(y,z,x)=0
(u nás $f(x,y,z)=\sqrt{x^2-y}-(z-1)$ )

(Pravda, nepředpokládáme zcela "symetrickou" platnost vztahů - např. f(x,z,y)=0 nepožadujeme - ale nicméně x,y,z jsou cyklicky zaměnitelné (x->y->z).)
Navíc předpokládejme, že f je ostře monotónní v každé z proměnných (tj. mimo jiné prostá), je to reálná funkce reálných proměnných, a že řešení existuje konečně mnoho (tím se vyhneme "identickým" rovnicím jako x+y+z=1,2x+2y+2z=2,3x+3y+3z=3).

Platí pak pro řešení x=y=z?

(A pokud ne, mohli bychom ještě omezit předpoklady na f, že musí obsahovat pouze polynomy, celočíselné odmocniny z polynomů a jejich lineární kombinace. Případně ještě dovolit jejich podíly.)

Pavel Brožek · 08. 06. 2010 18:02

↑ check_drummer:

Soustava

$x^3+y+z=0\nl y^3+z+x=0\nl z^3+x+y=0$

bude mít řešení x=1, y=-1, z=0. Nejspíš bude mít soustava konečně mnoho řešení, ale neověřoval jsem to podrobněji.

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2010 22:01

Sústava rovníc

#2 07. 06. 2010 22:36

Re: Sústava rovníc

#3 07. 06. 2010 22:37

Re: Sústava rovníc

#4 07. 06. 2010 22:50

Re: Sústava rovníc

#5 07. 06. 2010 23:13

Re: Sústava rovníc

#6 07. 06. 2010 23:28 — Editoval FailED (08. 06. 2010 11:39)

Re: Sústava rovníc

#7 08. 06. 2010 11:22

Re: Sústava rovníc

#8 08. 06. 2010 11:45

Re: Sústava rovníc

#9 08. 06. 2010 13:48

Re: Sústava rovníc

#10 08. 06. 2010 14:04

Re: Sústava rovníc

#11 08. 06. 2010 17:41

Re: Sústava rovníc

#12 08. 06. 2010 18:02

Re: Sústava rovníc

Zápatí