Matematické Fórum

Lucinecka88 · 09. 06. 2010 22:55

Prosím o pomoc s příkladem, který nevím ani jak začít. Děkuji

zdenek1

↑ Lucinecka88:
$2\tan x +3\cot x=5$
$2\tan x +\frac3{\tan x}=5$
$2\tan^2x+3=5\tan x$
$2\tan^2x-5\tan x+3=0$
$(2\tan x-3)(\tan x-1)=0$
$\tan x=\frac32$ nebo $\tan x=1$
$x=\arctan\left(\frac32\right)+k\pi$ nebo $x=\frac\pi4+k\pi$

Lucinecka88 · 10. 06. 2010 11:00

A takto to nemůžu dělat?

jarrro · 10. 06. 2010 11:08

↑ Lucinecka88:1.,2.,3. riadok dobre 4. riadok nechápem vo4. riadku by malo byť
$2+\cos^2{x}=5\cos{x}\sin{x}$ čo treba ešte upravovať a nakoniec asi stejne prídeš na to isté čo Cheop čiže je to zložitejšie(musíš viac písať)

Lucinecka88 · 10. 06. 2010 11:27

To máš asi pravdu, že to je složitější,ale já to nechápu a učitelka po nás vždy chtěla aby jsme to počítali přes sin a cos.
Jak jsi udělal toto?
$2+\cos^2{x}=5\cos{x}\sin{x}$

jarrro · 10. 06. 2010 11:29 — Editoval jarrro (10. 06. 2010 11:31)

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ a $3=2+1$ a čo sa nedá chápať na Cheopovom postupe?

Lucinecka88 · 10. 06. 2010 14:37

Mám poslední toto $2+\cos^2{x}=5\cos{x}\sin{x}$
Nevím jak mám pokračovat.

↑ jarrro:

Nechapu to protože jsme nikdy nepočítali s tg a cotg. Vždy jsme too převáděli na sin a cos.

Rumburak

↑ Lucinecka88:
Použijeme vzorce $\cos^2{x}\,=\,\frac{1\,+\,\cos\,2x}{2}$ , $2\,\cos\,x\,\sin\,x\,=\,\sin \,2x$ a dostaneme

$2\,+\,\frac{1\,+\,\cos\,2x}{2}\,=\,\frac {5}{2}\,\sin\,2x$ ,
$5\,+\,\cos\,2x\,=\,5\,\sin\,2x$ ,

zde položíme 2x = y a řešíme soustavu

$5\,+\,\cos\,y\,=\,5\,\sin\,y$ ,
$\sin^2 y\,+\,\cos^2 y\,=\,1$ (toto je goniometrická identita platná pro každé y).

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Lucinecka88 · 10. 06. 2010 15:18

můžeš mi prosím říct kde jsi vzal toto $\cos^2{x}\,=\,\frac{1\,+\,\cos\,2x}{2}$ děkuji

Rumburak · 10. 06. 2010 15:21

↑ Lucinecka88:
Ze soustavy

$\cos^2 x\,-\,\sin^2 x\,=\,\cos\,2x,$
$\cos^2 x\,+\,\sin^2 x\,=\,1$ .

Lucinecka88 · 10. 06. 2010 20:46

Vůbec si nevím rady, jsem totálně v prknu. Skončila jsem u $2+\cos^2{x}=5\cos{x}\sin{x}$ a opravdu nevím jak dál. To co jste mi poradili tak nechápu jak udělat.

gadgetka · 10. 06. 2010 21:05

a co kdybys zvolila substituci? Když tedy nechceš počítat s tg a cotg, že by sis zvolila, že $\frac{\sin x}{\cos x}=a$
A dostala bys
$2a+3a^{-1}=5\nl2a+\frac{3}{a}=5\nl2a^2-5a+3=0\nla_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{4}=\frac{5\pm 1}{4}\nla_1=\frac{3}{2}\nla_2=1$

a teď by ses zase k tg vrátila:

$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{2}\nl\tan x=\frac{3}{2}$
tabulková hodnota nebo viz výše řešení od Zdeňka

$\frac{\sin x}{\cos x}=1\nl\tan x=1\nl x=\frac{\rm{\pi}}{4}+\rm{k\pi}$

Cheop · 11. 06. 2010 07:31 — Editoval Cheop (11. 06. 2010 08:28)

↑ Lucinecka88:
$2+\cos^2{x}=5\cos{x}\sin{x}\nl4+4\,\cos^2x+\cos^4x=25\,\cos^2x\,\sin^2x\nl4+4\,\cos^2x+\cos^4x=25\,\cos^2x(1-\cos^2x)\nl26\,\cos^4x-21\,\cos^2x+4=0$
Substituce $\cos^2x=y$
$26y^2-21y+4=0\nly_1=\frac12\nly_2=\frac{4}{13}$
Vratka ksubstituci:
1)
$y=\frac 12\nl\cos^2x=\frac 12\nl\cos\,x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\nlx=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi$
2)
$y=\frac{4}{13}\nl\cos^2x=\frac{4}{13}\nl\cos\,x=\pm\frac{2}{\sqrt{13}}\nlx=\pm\,56^\circ\,19^'+k\cdot 180^\circ$
Aby toto platilo
$2+\cos^2{x}=5\cos{x}\sin{x}$ potom je jasné, že buď musí být obě funkce sinus i kosinus kladné nebo obě záporné. (tj. I. nebo 3. kvadrant)
To nám dává řešení:
$x_1=45^\circ+k\cdot 180^\circ\nlx_2=56^\circ\,19^'+k\cdot 180^\circ$

PS Tu tvou původní rovnici jsem umocnil na druhou a pak dále trochu poupravoval.

Lucinecka88 · 11. 06. 2010 08:08

Strašně moc děkuji. Hodně jsi mi pomohl.

zdenek1 · 11. 06. 2010 08:13

↑ Cheop:
$\cos\,x=\pm\frac{1}{\sqrt2}\nlx=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi$ tady je chyba. $x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi$

a stejný problém i tady
$\cos\,x=\pm\frac{2}{\sqrt{13}}$
Tato rovnice má v jedné periodě 4 řešení, ty uvádíš jen 2.

Cheop · 11. 06. 2010 08:28

↑ zdenek1:
Jo máš pravdu díky - opraveno.

gadgetka · 14. 06. 2010 12:04

Zkusím, Lucinečko, ještě pomalu, krok za krokem, pomocí sin x a cos x, třeba to takhle líp pochopíš:

$2\tan x+3\cot x=5\nl2\frac{\sin x}{\cos x}+3\frac{\cot x}{\sin x}=5| \cdot \sin x \cos x$

Podmínka: $\sin x\ne 0 \Rightarrow x \ne \rm{k\pi}\wedge \cos x\ne 0\Rightarrow x\ne (2k+1)\frac{\rm{\pi}}{2}$

$2\sin^2x+3\cos^x=5\sin x\cos x\nl2\sin^2x+3\cos^x-5\sin x\cos x=0\nl2\sin^2x+2\cos^2x+\cos^2x-5\sin x\cos x$

Pomocný výpočet:
$\sin^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow 2\sin^2x+2\cos^2x=2(\sin^2x+\cos^2x)=2\cdot 1=2$

$2+\cos^2x-5\sin x\cos x=0$

Pomocný výpočet:
$\sin^2x+\cos^2x=1\nl\sin^2x=1-\cos^2x\nl\|sin x|=\sqrt{1-\cos^2x}$

$2+\cos^2x-5\sqrt{1-\cos^2x}\cos x=0\nl2+\cos^2x=5\sqrt{1-\cos^2x}\cos x|^2\nl(2+\cos^2x)^2=25(1-\cos^2x)\cos^2x\nl4+4\cos^2x+\cos^4x=(25-25\cos^2x)\cos^2 x\nl4+4cos^2x+\cos^4x=25\cos^2x-25\cos^4x\nl26\cos^4x-21\cos^2x+4=0$

$s: \cos^2x=a$

$26a^2-21a+4=0\nla_{1,2}=\frac{21\pm \sqrt{441-416}}{52}=\frac{21\pm \sqrt25}{52}=\frac{21\pm 5}{52}\nla_1=\frac{1}{2}\nla_2=\frac{4}{13}$

Dosadím zpět do substituce:
$\cos^2x=\frac{1}{2}\nl\cos x=\pm \frac{\sqrt2}{2}\nl\cos^2x=\frac{4}{13}\nl\cos x=\pm \frac{2\sqrt13}{13}$

Lucinecka88 · 14. 06. 2010 12:27

↑ gadgetka:

Děkuji, pochopila jsem to.

jelena · 14. 06. 2010 13:36

↑ gadgetka:

při všem obdivu k úpravě a podrobnému vysvětlení a k času tomu věnovanému - postup kolegy ↑ Zdeňka: + substituce, kterou doporučuješ ↑ gadgetka: přece má lepší standardizační účinek.

Navíc použití neekvivalentních úprav vedé ke kořenům, co neplatí (myslím, že kořeny v II. a IV. kv.) - je třeba provádět zkoušku.

Je to tak? Děkuji.

↑ Lucinecka88: můj obdiv.

Lucinecka88 · 14. 06. 2010 13:47

↑ jelena:

Tento příklad mám vypočítany takto:

Podle výsledků to vyšlo.

gadgetka

u toho áčka (u výsledků) bys měla asi uvažovat všechny kvadranty, protože řešením je $\pm \frac{\sqrt2}{2}$ nebo ten závěr napsat jako $\pm \frac{\rm{\pi}}{4}+2\rm{k\pi}$

A u béčka je to vlastně to samé, plus nezapomenout na zkoušku.

Ale vzhledem k tomu, co píše jelena a k výsledkům z učebnice, jsou zřejmě správné jen ty výsledky, které jsi ty vzala v potaz, ale nemusí tomu tak být vždycky.

jelena · 14. 06. 2010 15:26

↑ gadgetka:

tento postup je opravdu zradný, co se tyče zápisu a následné kontroly kořenů:

pokud $\cos x=\pm \frac{\sqrt2}{2}$ , tak $x=\pm \frac{\rm{\pi}}{4}+\rm{k\pi}$ atd.

Myslím si, v případě tohoto zadání, tak i v případě tohoto řešení (podle mého je v pořádku, proč to předělávat na něco jiného a krkolomného?) je vhodné kolegyňce doporučit, ať se zaměří na rešení rovnic $\rm{tg}x=a$ .

Také si myslím, že až bude vyhlášen konkurz, kdo je největší Баба Яга, tak získám plný počet bodů a ještě mi přidaji nějaký velký bonus, děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2010 22:55

goniometrické rovnice 2.

#2 09. 06. 2010 23:04 — Editoval zdenek1 (10. 06. 2010 13:31)

Re: goniometrické rovnice 2.

#3 10. 06. 2010 11:00

Re: goniometrické rovnice 2.

#4 10. 06. 2010 11:08

Re: goniometrické rovnice 2.

#5 10. 06. 2010 11:27

Re: goniometrické rovnice 2.

#6 10. 06. 2010 11:29 — Editoval jarrro (10. 06. 2010 11:31)

Re: goniometrické rovnice 2.

#7 10. 06. 2010 14:37

Re: goniometrické rovnice 2.

#8 10. 06. 2010 14:51 — Editoval Rumburak (11. 06. 2010 09:19)

Re: goniometrické rovnice 2.

#9 10. 06. 2010 15:18

Re: goniometrické rovnice 2.

#10 10. 06. 2010 15:21

Re: goniometrické rovnice 2.

#11 10. 06. 2010 20:46

Re: goniometrické rovnice 2.

#12 10. 06. 2010 21:05

Re: goniometrické rovnice 2.

#13 11. 06. 2010 07:31 — Editoval Cheop (11. 06. 2010 08:28)

Re: goniometrické rovnice 2.

#14 11. 06. 2010 08:08

Re: goniometrické rovnice 2.

#15 11. 06. 2010 08:13

Re: goniometrické rovnice 2.

#16 11. 06. 2010 08:28

Re: goniometrické rovnice 2.

#17 14. 06. 2010 12:04

Re: goniometrické rovnice 2.

#18 14. 06. 2010 12:27

Re: goniometrické rovnice 2.

#19 14. 06. 2010 13:36

Re: goniometrické rovnice 2.

#20 14. 06. 2010 13:47

Re: goniometrické rovnice 2.

#21 14. 06. 2010 14:07 — Editoval gadgetka (14. 06. 2010 14:10)

Re: goniometrické rovnice 2.

#22 14. 06. 2010 15:26

Re: goniometrické rovnice 2.

Zápatí