Matematické Fórum

Máš pravdu, ale je pak potřeba zdůvodnit to tvrzení "přes A se infimum posloupnosti, brané od n-tého členu, nemůže nikdy dostat". Neříkám, že je to těžké, akorát v důkazu nám odhad stačí.

Víceméně, ale nestačí říct, že jsou ty a_k větší než A (třeba 1/n je vždy >0 a má lim. 0), je pottřeba říct, že pro vhodné epsilon jsou větší než A+epsilon (zde třeba za epsilon zvolíme rozdíl toho infima a čísla A, případně abychom nemuseli přemýšlet nad ostrými/neostrými nerovnostmi, tak polovinu tohoto rozdílu).

Jú, ten důkaz je zbytečně složitej :-)

Mno, jestlize me zrak neklame, tak dokazujeme tvrzeni:  (omlouvam se, neumim v texu a ted se to ucit nehodlam) existuje-li konecna limita an, pak plati liminf an = lim an.

Takze - ma-li posloupnost limitu, ma i kazda posloupnost z ni vybrana (jinak - podposloupnost) take tuto limitu. Jelikoz liminf = "nejnizsi hodnota z limit vsech vybranych posloupnosti (podposloupnosti)" (ne uplne korektne receno), plati i rovnost liminf an = limsup an = lim an

Doufam, ze jsem dokazoval to same co vy :-)

Bohuzel se trosku nevyznam ve znaceni (napr. "sup(inf a_k)"). Ja prece nemuzu vybrat posloupnost samych nul, kdyz posloupnost an=1/n zadnou nulu neobsahuje (natoz nekonecne mnoho). A samozrejme, ze liminf nemusi odpovidat zadnemu clenu posloupnosti. Ale odpovida limite posloupnosti (pokud existuje). Jestli mate definovane limes superior a limes inferior stejne jako my (tj. nejvyssi, resp. nejnizsi ze "hromadnych hodnot" (tj. limita nejake vybrane posloupnosti)), tak je prece tvrzeni trivialni. Bohuzel - jedina skripta, ktera znam, jsou zatim ta nase a prokousavat se znacenim matfyzackym se mi ted nechce :-)

Nojo, to je to nejhorsi - "kazdy" to ma definovany jinak, ale vsichni to mysli vicemene stejne - a pak se v tom ma clovek vyznat :-)
U nas je prave u lim sup/inf termin "hromadna hodnota" klicovy. Mimoto - ted jsem si vzpomnel, jak jsem na zkousce dokazoval, ze jestli vyberu dejme tomu "r" podposloupnosti, kazda ma limitu,  sjednoceni jejich definicnich oboru bude cele N, pak jestli vsechny ty limity budou stejne, pak i puvodni posloupnost ma tuto limitu. Celkem hnus to byl, i kdyz porad lepsi, nez to samy, ale s tvrzenim, ze nejvyssi (resp. nejnizsi) z tech limit je limsup (resp. liminf). To byl jeden za mala dukazu (asi ze dvou), ktere jsem opravdu neumel. I kdyz - na zkousce se clovek vybicuje a vzdycky neco vymysli :-)