Matematické Fórum

Dokažte, že množina všech diagonalních matic typu n x n je vekt. podprostorem prostoru M_nxn(R). Určete dimenzi a uveďte nějakou bázi.

diag. matice - má prvky jen na diagonale

Jak dokázat podprostor, když je to obecně?

podprostor diag. matic si označím D.

Důkaz podprostoru:
x_1  0    0   ...  0      0
  0  x_2  0   ...  0      0
  0    0  x_3 ...  0      0
..........................
  0    0   0   ... x_n-1 0
  0    0   0   ...  0     x_n   ... jedna matice, a pak mám druhou, kde místo x bude y... Ty se sečtou... máme...

x_1+y_1  0    0   ...  0      0
  0  x_2+y_2  0   ...  0      0
  0    0  x_3+y_3 ...  0      0
..........................
  0    0   0   ... x_n-1+y_n-1 0
  0    0   0   ...  0     x_n+y_n  Což je platné....

Pak se ještě udělá násobení real. číslem (nazveme třeba c)... takže něco takového ... výsledek...

c*z_1  0    0   ...  0      0
  0  c*z_2  0   ...  0      0
  0    0  c*z_3 ...  0      0
..........................
  0    0   0   ... c*z_n-1 0
  0    0   0   ...  0     c*z_n      Taky platné, takže D je opravdu podprostorem....

Může to tak nějak být?

- A jakou má dim? Tipuju, že Dim = n... ale nevím....

- Libovolnou bázi.. ?

Třeba
1 0   0 0
0 0 , 0 1 . dim = 2. ?