Matematické Fórum

lukaszh · 18. 06. 2010 19:53

Ahojte,

nikdy som si neuvedomil, ako môže byť aj obyčajná vec ako je guľa, taká obskúrnosť. Nie, že by mala byť zaujímavá trojrozmerná guľa, ale hlavne čo sa týka gúľ vo vyšších rozmeroch. Pomerne známy vzťah pre výpočet objemu n-rozmernej gule nám poskytne akú takú predstavu. Keď skúmame vlastnosti n-rozmernej kocky a gule do nej vpísanej, dospejem k zaujímavým záverom. Pomer ich objemov je

$\frac{V(S_n)}{V(C_n)}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}\cdot 1^n}{\rm{\Gamma}$\frac{n}{2}+1$}\cdot\frac{1}{2^n}=\frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{2^n\cdot\rm{\Gamma}$\frac{n}{2}+1$}=\boxed{\frac{2}{n\cdot\rm{\Gamma}$\frac{n}{2}$}\cdot$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$^n}$

Pričom som vzal kocku so stranou dĺžky 2 a polomer gule do nej vpísanej bude 1. Keďže sa zaoberám veľkými rozmermi, zúžim ich na párne n (pre účely gama)

$\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n\cdot$\frac{n}{2}-1$!}\cdot$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$^n=0$

Konvergencia je veľmi rýchla. Už pre n = 6 máme pomer približne 0.0807 Naskytajú sa prirodzené otázky. Možno mám skreslenú predstavu o vpísaných guliach v rozmeroch vyšších ako 3. Vôbec totiž netuším, či polomer gule vpísanej do kocky je nutne polovica dĺžky hrany tejto kocky. Analógia sa dá vyvodiť z nižších rozmerov, no ktovie.

V podstate, čím vyšší máme rozmer, tým je gulička menšia. Deformuje sa nejako čudne. Keďže si to predstaviť nijako neviem, spravil som analógiu pre 2D. Predstavujem si to aj nejako takto

No, je to zrejme mylná predstava, ale nedá sa to. Zvláštne, že?

Pavel Brožek · 18. 06. 2010 20:41

Když budu mít hyperkouli danou rovnicí

$\sum_{i=1}^nx_i^2<r^2$

a budu hledat tečnou nadrovinu $x_k=\rm{konst.}$ , tak jedině nadroviny $x_k=-r$ a $x_k=r$ budou mít s hranicí hyperkoule společný právě jeden bod. Takže bych řekl, že rozměr hyperkrychle by opravdu měl být 2r.

Edit: Obrázku nerozumím.

Kondr · 18. 06. 2010 21:13

Jo, poloměr je správně. A dokonce ta koule bude stále konvexní, ne jako na obrázku. Stačí si uvědomit, že pro zobecněný osmistěn, který se krychle dotýká ve stejných bodech jako koule, bude ten poměr $\frac{1}{n!}$ , což jde k nule ještě o chlup rychleji.

To, že koule s větší dimenzí "zmenšují objem" je trochu neintuitivní, ale má to celkem pozitivní důsledky v teorii kódování (viz Sphere packing bound, a.k.a Hamming bound).

lukaszh · 19. 06. 2010 12:26

Obrázok radšej nekomentujem :-) V každom prípade, vďaka za odpovede.

pietro · 19. 06. 2010 12:59

Zaujímavé je maximum pri rozmere n = 5.2569464 Odkaz

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2010 19:53

Obskúrnosť

#2 18. 06. 2010 20:41

Re: Obskúrnosť

#3 18. 06. 2010 21:13

Re: Obskúrnosť

#4 19. 06. 2010 12:26

Re: Obskúrnosť

#5 19. 06. 2010 12:59

Re: Obskúrnosť

Zápatí