Matematické Fórum

Onso · 19. 06. 2010 17:51 — Editoval Onso (19. 06. 2010 17:52)

Dobrý den, mohli byste mi prosím poradit, jak řešit tuto úlohu? Vůbec si nevím rady. Diky

Dve mesta jsou od sebe vzdalena 200 km. Z obou mest soucasne proti sobe vyjedou 2 vlaky, kazdy rychlosti 100 km/h. Z predniho skla prvniho vlaku vyleti ptak rychlosti 200 km/h a leti proti druhemu vlaku. Jakmile narazi na predni sklo (nic se mu nestane), otoci se a bez ztraty rychlosti leti vstric prvnimu vlaku. Po narazu se opet otoci a leti proti druhemu. Lita tak dlouho, nez se vlaky vzajemne celne srazi (opet se nikomu nic nestane).Otazka je, kolik kilometru naletal ptak. Tuto hodnotu oznacme Z2.

gadgetka · 19. 06. 2010 18:03

Vlaky do sebe narazí za hodinu. Pták letí rychlostí 200 km za hodinu, tzn. že než se vlaky srazí, uletí pták 200 km. :)

Onso · 19. 06. 2010 18:07

Jááj, já si myslel že to bude jednoduché. Díky :) Hledal jsem v tom složitosti

pietro · 19. 06. 2010 22:40

↑ Onso:Ahojte..zložitejší sposob....posielam námet..

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cheop · 21. 06. 2010 08:36 — Editoval Cheop (21. 06. 2010 08:40)

↑ Onso:
Možno řešit jako součet nekonečné geometrické řady.
Pro součet takové řady platí:
$S=\frac{a_1}{1-q}$ kde $a_1$ je první člen řady a $q$ je kvocient řady a platí $q\,<\,1$
1) Pták letí rychlostí 200 km/h z města A vstříc vlaku jedoucímu z B. Dohromady musí urazit dráhu 200 km za čas t_1
Pohybují se proti sobě tj jejich rychlost je součtem jejich rychlostí platí tedy:
$200=(100+200)t_1\nlt_1=\frac 23$
Za čas 2/3 hodiny uletí pták rychlostí 200 km/h vzdálenost $a_1=200\cdot\frac23=\frac{400}{3}\quad\rm{km}$
Za uvedený čas ujede vlak jedoucí z A rychlostí 100 km/h vzdálenost $s=100\cdot\frac 23=\frac{200}{3}\quad\rm{km}$
2) Znamená to, že v momentě kdy pták doletí k vlaku, který jede z B bude vzdálenost mezi ptákem a vlakem A $s_1=\frac{400}{3}-\frac{200}{3}=\frac{200}{3}\quad\rm{km}$
Tuto vzdálenost ujede vlak A a pták relativní rychlostí 300 km/h (100+200) v čase t_2 platí:
$\frac{200}{3}=300t_2\nlt_2=\frac 29$
Nyní je už možné určit kvocient nekonečné řady q
$q=\frac{\frac 29}{\frac 23}=\frac 13$
Celková vzdálenost, kterou pták nalétá je dána vztahem:
$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{400}{3}}{1-\frac 13}\nlS=\frac{\frac{400}{3}}{\frac 23}\nlS=200\quad\rm{km}$

Pták mezi vlaky nalétá 200 km.
PS: Uznávám, že výpočet od ↑ gadgetka: je přeci jen rychlejší.

gadgetka · 21. 06. 2010 08:46

Děkuji, ale tvůj způsob má můj obdiv... :)

halogan · 21. 06. 2010 08:53

OT: Na první přednášce z analýzy dvojky nám přednášející na tabuli počítal včelu mezi vlaky a dělal to přes nekonečné řady. Na moji námitku o čase řekl:

"Ano, chytrého člověka to napadne počítat přes čas, ale ještě chytřejší člověk v tom vidí hezkou nekonečnou řadu." :-)

zdenek1 · 21. 06. 2010 09:02

↑ halogan:
No můj názor je, že skutečně chytrý člověk v tom sice vidí nekonečnou řadu, ale stejně to spočítá přes čas. :-)

Cheop · 21. 06. 2010 09:07

↑ zdenek1:
Zdravím:-)
Jsem téhož názoru.
Nakonec protože je tento příklad v sekci "Základní škola",
tak výpočet nemůže být jiný než přes čas a trochu úvahy nad zadáním.

jelena · 21. 06. 2010 09:31

A taková, které chytrost nebyla přidělena (na co také?), tak se jen zeptá: "Jak se dá vyletavat z predniho skla?"

Zdravím.

pietro · 21. 06. 2010 11:23

čo by sa tak stalo s fotonom , keby kmital ako vták medzi dokonale reflexnými vlakmi...ale to už asi inde ....

gadgetka · 21. 06. 2010 12:12

↑ halogan:

nezdvořáku jeden, vem si příklad ze zdeňka, ten ví, jak se chovat k dámě ... :D

pietro · 21. 06. 2010 17:16

↑ Cheop: vdaka za vyriesenie! Nech sa dobre dari!

Siroga · 22. 06. 2010 19:24

↑ Cheop:
tohle kdyby videla ucitelka zakladni skoly zejtra jako vysledek domaciho ukolu tak by ji asi docvaklo ze to neudelal sam :D

Cheop · 09. 07. 2010 08:54 — Editoval Cheop (09. 07. 2010 09:21)

↑ Siroga:
Jde to tedy počítat i takto:
1)
Pták letí rychlostí 200 km/h od vlaku A vstříc vlaku B. Než se vlak B a pták potkají musí dohromady uletět vzdálenost mezi městy
tj. 200 km. Pohybují se proti sobě tj. jejich relativní rychlost je součtem jejich rychlostí (300 km/h). Vzdálenost 200 km urazí v čase t_1
platí: $200=300t_1\nlt_1=\frac 23\quad \rm{h}$ Za 2/3 hodiny uletí pták rychlostí 200 km/h vzdálenost $200\cdot\frac 23=\frac{400}{3}\quad\rm{km}$
Mezitím vlak jedoucí z A urazí za uvedený čas rychlostí 100 km/h vzdálenost $s_1=100\cdot\frac 23=\frac{200}{3}\quad\rm{km}$
Znamená to, že v momentě kdy pták dorazí k vlaku B bude vzdálenost mezi ptákem a vlakem A $\frac{400}{3}-\frac{200}{3}=\frac{200}{3}\quad\rm{km}$
2)
Pták letí od vlaku B k vlaku A. Vzdálenost mezi nimi je 200/3 km. Tuto vzdálenost uletí rychlostí 300 km/h v čase t_2. Platí:
$\frac{200}{3}=300t_2\nlt_2=\frac 29\quad\rm{h}$
Za 2/9 h uletí pták rychlostí 200 km/h vzdálenost $s_2=200\cdot\frac 29=\frac{400}{9}\quad\rm{km}$ Vlak jedoucí z B i z A (každý z nich)ujedou za čas
$t_1+t_2=\frac 23+\frac 29=\frac 89\quad\rm{h}$ rychlostí 100 km/h vzdálenost $s_0=100\cdot\frac 89=\frac{800}{9}\quad\rm{km}$
Mezi ptákem a vlakem B je v tomto momentě vzdálenost $x=200-2\cdot\frac{800}{9}=\frac{200}{9}\quad\rm{km}$
3)
Pták letí od A k vlaku B. Dohromady musí uletět vzdálenost $\frac{200}{9}\quad\rm{km}$ v čase t_3. Platí:
$\frac{200}{9}=300t_3\nlt_3=\frac{2}{27}\quad\rm{h}$
Za uvedený čas uletí pták rychlostí 200 km/h vzdálenost $s_3=200\cdot\frac{2}{27}=\frac{400}{27}\quad\rm{km}$
4)
Vidíme, že každou "otočkou" pták uletí 1/3 předcházející vzdálenosti.
Celkovou vzdálenost, kterou pták nalétá mezi vlaky, než se tyto definitivně srazí, můžeme odhadnout na:
$s=\frac{400}{3}+\frac{400}{9}+\frac{400}{27}+\frac{400}{81}+\frac{400}{243}+\frac{400}{729}+\frac{400}{2187}+\frac{400}{6561}+\frac{400}{19683}+\frac{400}{59049}+\frac{400}{177147}+\frac{400}{531441}+\,\cdots\nls=\frac{400}{531441}\left(177147+59049+19683+6561+2187+729+243+81+27+9+3\right)=\frac{400\cdot 265719}{531441}\dot=200\quad\rm{km}$
Dostáváme se tak vlastně k součtu nekonečné geometrické řady prostředky "Základní školy"

PS: Tento výpočet by měl žák základní školy bez problémů zvládnout.
Edit:
Težší by byl výpočet v případě kdyby vlaky jely každý jinou rychlostí. Např. vlak A rychlostí 100 km/h a vlak B rychlostí 150 km/h
Můžeš si to jako rozcvičku zkusit dopočítat.