Matematické Fórum

Vosus · 19. 06. 2010 18:47 — Editoval Vosus (21. 06. 2010 18:48)

Ahoj, v utorok píšem záverečnú písomku z matiky a takto vyzerala tá minuloročná. Mám problémy s riešením príkladov 5, 8 a s prémiou. Už ste mi raz takto pomohli .-)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
8. Mám vyjadriť $P^3$ ako $(2 \pi r^2+2 \pi r v)^3$ , $V^2$ ako $(\pi r^2 v)^2$ , roznásobiť to a porovnať ? Alebo to ide nejako jednoduchšie ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P. ?

Vďaka vopred.

zdenek1 · 19. 06. 2010 21:36

↑ Vosus:
8. Já bych to udělal takto. Možná to jde lépe.
$P^3\geq54\pi V^2$
$[2\pi r(r+h)]^3\geq54\pi(\pi r^2h)^2$ roznásobím, upravím
$4r^3+12r^2h+12rh^2+4h^3\geq27rh^2$
$4r^3+12r^2h-15rh^2+4h^3\geq0$ vydělím $h^3$ (to můžu, válec nemá nulovou výšku) a udělám substituci $t=\frac rh>0$
$4t^3+12t^2-15t+4\geq0$ teď to rozložím na součin, ale tady to jde celkem dobře
$4t^3-4t^2+t+16t^2-16t+4\geq0$
$t(4t^2-4t+1)+4(4t^2-4t+1)\geq0$
$(t+4)(2t-1)^2\geq0$
a to platí. První závorka je evidentně vždy kladná (pro naše $t$ ), druhá je kvadrát, takže kladná nebo nula.
ROvnost nastává pro $t=\frac rh=\frac12$

JamesS · 19. 06. 2010 23:36 — Editoval JamesS (19. 06. 2010 23:37)

P:
Teleso 1. (trojboky jehlan AFHE)
$V=\frac{(a\sqrt2)^2 \frac13a }{4}$
$V=\frac16a^3$
Teleso 2.(ctyrboky jehlan BFHDA)
$V=a\sqrt2a\frac13\frac{a\sqrt2}{2}$
$V=\frac13a^3$
Teleso 3. (nevim, jak se tomu rika, podstavy jsou lichobezniky HFLM a DBKM')
$V=\frac{a\sqrt2+\frac{a\sqrt2a}{2}}{2}\frac{\sqrt2}{4}a^2$
$V=\frac{3\sqrt2a}{4}\frac{\sqrt2}{4}a^2$
$V=\frac38a^3$
Teleso 4. (trojboky kvadr, jestli neco takoveho jako trojboky kvadr existuje, podstavy MLG a KCM')
$V=\frac{(\frac{a}{2})^2}{2}a$
$V=\frac18a^3$

celkove tedy
$\frac16a^3:\frac13a^3:\frac38a^3:\frac18a^3$
po vydeleni $a^3$ a vynasobeni $24$
dostavame
$4:8:9:3$

Jesteze nemam co delat :-D sice asi mi to cele trvalo vic nez 90min, ale spis jeste bojuju s Texem
Snad to mam dobre...

Vosus · 21. 06. 2010 18:57

↑ zdenek1:
Jednoduchšie to asi nejde.

↑ JamesS:
Teleso 3, kolmý hranol s lichobežníkovou podstavou - jeho objem sa dal vyrátať aj ľahšie, ako rozdiel polovice objemu kocky $\frac {a^3}{2}$ a objemu telesa 4 $\frac18a^3$ , teda $\frac38a^3$ .

Vďaka obom.

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2010 18:47 — Editoval Vosus (21. 06. 2010 18:48)

stereoctvrtletka

#2 19. 06. 2010 21:36

Re: stereoctvrtletka

#3 19. 06. 2010 23:36 — Editoval JamesS (19. 06. 2010 23:37)

Re: stereoctvrtletka

#4 21. 06. 2010 18:57

Re: stereoctvrtletka

Zápatí