Matematické Fórum

archipatelin

EDIT: pridana restrikce na nulovou matic.

Lze nejak explicitne vyjadrit grupu regularnich matic $G$ s operaci definovanou jako obycejne scitani (po prvcich), ktere zachovava regularitu?
Tj. $\forall A,B\in G: \;\det\||A+B\||\neq 0$ , kde $\det\||AB\||\neq 0$ a $A+B\neq 0$ .
A to tak, aby mnozina takovychto matic (az na matici nulovou) spolu s operaci klasickeho maticoveho nasobeni tvorila take grupu?

petrkovar · 20. 06. 2010 21:40

↑ archipatelin:Ne.
Neutrálním prvkem součtu maic je nulová matice, která není regulární. Proto ani druhá část (aby taková množina byla i grupu s operací násobení) nemá smysl.

archipatelin · 20. 06. 2010 21:54

↑ petrkovar:
Zamozrejme. Bavme se tedy o mnozine typu $G-\{0\}$ .

Kondr · 20. 06. 2010 21:59

↑ archipatelin: To nebude fungovat. Pokud chceme uzavřenost na sčítání, nemůžeme v dané množině mít současně
1 0
0 1
a
-1 0
0 -1
EDIT: dále byly bludy

archipatelin

↑ Kondr:
Dobre a co, kdyz v mnozine $G$ povolime vyskyt nulove matice $0$ takto: $\det\||A\||=0\leftrightarrow A=0$ ?
(v def. regularity souctu mam podminku $A+B\neq 0$ , ktera to pripousti)

Pro upresneni: $G$ je nosnou mnozinou grupy pro operaci scitani a $G-\{0\}$ je mnozina pro grupu s operaci maticoveho nasobeni.

Kondr · 21. 06. 2010 00:35

↑ archipatelin: Takže jinými slovy hledáme množinu matic, která tvoří grupu vzhledem ke sčítání a po odebrání nuly tvoří grupu vzhledem k násobení (druhá podmínka nám zaručí, že krom nuly jsou všechny matice regulární). Není těžké dokázat, že tomuto vyhoví množina všech násobků jednotkové matice. Těžší je ukázat (a jen doufám, že to funguje), že jiná množina nevyhoví (pokud obsahuje matici A, obsahuje i A^2 a jako lineární kombinaci A, A^2 vyrobíme pomocí Jordanova kanonického tvaru singulární matici různou od 0).

archipatelin · 21. 06. 2010 10:05

↑ Kondr:
Ja myslim, ze nemas tak uplne pravdu.
Pro nasobky jednotkove matice to samozrejme plati - je to vlastne reprezentace mnoziny vsech realnych cisel.
Ovsem existuji i jine mnoziny matic vyhovujici nasim podminkam, ktere nejsou isomorfni s $\mathbb{R}$ .

Napr. matice 2x2 tvaru: - coz je zase reprezntace komplexnich cisel.

Tva uvaha ohledne jordanova tvaru je nespravna, nebot neuvazujes moznost existence vice nezavyslich matic (neco jako 'generaoru').
V pripade mnoziny vsech nasobku jednotjkove matice je jen jeden 'generator' $E$ a skutecne $E^2$ je linearni kombinace $E$ a muzes retezit dle jordana. Ale v pripade dvou generatoru $E,\,I$ , muze platit krome pripadu, ze $I^2$ je linearni kombinace $I$ a obdobne i pro generator $E$ (coz je vlastne reducibilni pripad predchoziho modelu) i pripad, kdy $I^2$ je lin. kombinaci $E$ !