Matematické Fórum

pokus123 · 02. 07. 2010 14:42

Dobrý den, Asi vás opět pobaví můj dotaz, ale už jsem zoufalý a nevím jak dál. Připravuji se na zkoušku z marematické analýzy a zrovna počítám integrály. POchopil jsem integraci pomocí per partes, pochopil jsem první substituční metodu, ale vůbec nerozumím té druhé. Mám skripta, hledal jsem i materiály na internetu, ale pořád nevím jak na to. Prosím vám mohli by jste mi nějak pomoct, popřípadě mi to nějak vysvětlit? Už jsem zoufalý. Všem, kteří se tady napíšou předem děkuji.

xificurC · 02. 07. 2010 15:16

A aka je druha substitucna metoda?

lukaszh · 02. 07. 2010 15:34

↑ xificurC:

Ide o substitúciu

$x=g(t)$

pri ktorej

$\int f(x)\,\rm{d}x=F\left[g^{-1}(x)\right]+C$

↑ pokus123:

Neviem, čo na tom chápať. Keby som mal vysvetliť, tak zase len to isté čo je v skriptách. Možno poradí niekto iný.

pokus123 · 02. 07. 2010 15:35

<h1>dydy</h1>

Příklad.
$\int sqrt(x^2+1)dx$
výhoda je v určení dx, přímo, ale naopak musíš vyjádřit inverz
x=sinh t
dx=cosh t dt
$\int sqrt(sinh(t)^2+1)dx$
$\int cosh(t) dx$
$\int cosh(t) \cdot cosh(t) dt$
... per partes prostě

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt(x^2%2B1)
Show steps- řeší se se ale pomocí tan

pokus123 · 02. 07. 2010 16:05

Jak mám postupovat???? $\int\frac{1}{4+x^2}dx$

jarrro · 02. 07. 2010 16:12

to je základný integrál $\int{\frac{1}{4+x^2}\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{arctg}{\left(\frac{x}{2}\right)}}{2}+C$

pokus123 · 02. 07. 2010 16:13

↑ <h1>dydy</h1>: Tady to x=sinh t chápu ale jak s toho zjistím t pro zpětnou substituci?

pokus123 · 02. 07. 2010 16:15

↑ jarrro: To je hezké ale kde jsem získal $x/2$ ????

Rumburak

↑ pokus123:
Jde o to, že substituci v integrálu můžeme provést jedním či druhým (tj. opačným) směrem, podle toho, jak je to výhodné
s ohledem na tvar integrované funkce. Každá z obou verzí věty o substituci popisuje jednu z těchto dvou cest:

1) $\int 2x\,\cos\,x^2 \,\,\text{d}x \, = \, \int \cos\,x^2 \,\text{d}(x^2) = \, \int \cos\,t \,\text{d}t = \sin \, t \,+\, C \,=\,sin \, x^2 \,+\, C$ (substituce $x^2 = t$ ),

2) $\int \sqrt{1\,+\,x^2}\,\text{d}x \, =\, \int \sqrt{1\,+\,\sinh^2 t}\,\,\text{d}(\sinh\,t) \, =\, \int \cosh^2 t \,\text{d} \,t \,=\,...$ (substituce $x = \sinh\,t$ , viz též ↑ <h1>dydy</h1>:).

V prvém případě má substituce tvar g(x) = t , ve druhém případě x = h(t) .

Obě věty by se daly shrnout do věty jediné, zhruba řečeno

"....., potom $\int f(x) \text{d} x\,=\,\int f(g(t)) g'(t)\text{d} t$ , pokud aspoň jedna strana této rovnosti má smysl. "

V tom tvrzení je implicite obsažen dodatek "a pak má smysl i druhá strana a platí rovnost" . Předpoklady si doplň sám. :-)

jarrro · 02. 07. 2010 16:50

↑ pokus123: $\int{\frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{arctg}{\left(\frac{x}{\left|a\right|}\right)}}{\left|a\right|}+C$
$x=\left|a\right|t\nl\mathrm{d}x=\left|a\right|\mathrm{d}t$ a základný integrál $\int{\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x}=\mathrm{arctg}{x}+C$

Matematické Fórum

#1 02. 07. 2010 14:42

Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#2 02. 07. 2010 15:16

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#3 02. 07. 2010 15:34

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#4 02. 07. 2010 15:35

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#5 02. 07. 2010 15:55 — Editoval <h1>dydy</h1> (02. 07. 2010 15:58)

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#6 02. 07. 2010 16:05

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#7 02. 07. 2010 16:12

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#8 02. 07. 2010 16:13

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#9 02. 07. 2010 16:15

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#10 02. 07. 2010 16:28 — Editoval Rumburak (02. 07. 2010 16:47)

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

#11 02. 07. 2010 16:50

Re: Integral 2. substituční metoda (nepřímá substituce)

Zápatí