Matematické Fórum

Pjutra · 18. 07. 2010 17:04

prosim mohl by mi tohle nekdo vysvetlit nebo zkusit nejake jine reseni? vubec nechapu o co tam jde u tyhle rovnice, co znamenaji ty I

kamarad to tady zkousel resit nejak jinak koukam, ale moc jsem nepochopila jak :D

kaja(z_hajovny)

je to linearni diferencialni rovnice prvniho radu. na netu je spousta materialu. kamarad pouzil variaci konstant, da es i primo dosazovat do vzorce nebo prepsat levou stranu na derivaci sikovneho soucinu a jit pres tzv. integracni faktor. To by potom mohlo pripominat to prvni reseni, I je ten integracni faktor.

arko619xfd · 18. 07. 2010 20:04

zdravím,
jde o tzv. obyčejnou lineární diferenciální rovnici 1. řádu, tj. o rovnici tvaru
$y' + y\cdot p(x)=q(x)$ .
V našem případě
$p(x)=e^x, \quad q(x)=e^{2x}$ .
Jeden ze dvou běžných postupů je ten, že se nejdříve řeší (separací proměnných) příslušná homogenní rovnice
$y' + y\cdot e^x=0$ .
Řešení
$y=Ce^{-e^x}$
pak dosadíme do původní rovnice s tím, že konstantu C považujeme za funkci proměnné x:
$y=C(x)\cdot e^{-e^x}$ . Je to tzv. metoda variace konstanty.
Dostaneme
$C'(x)\cdot e^{-e^x}-C(x)e^{x}\cdot e^{-e^x}+C(x)\cdot e^{-e^x}\cdot e^x=e^{2x}$
po úpravě
$C'(x)=e^{2x}\cdot e^{e^x}$ .
Po integraci (substituce $t=e^x$ )
$C(x)=\int{e^{2x}\cdot e^{e^x}}dx=\int{t \cdot e^{t}}dt = t \cdot e^{t}-e^t +C_1=e^x \cdot e^{e^x}-e^{e^x} +C_1$
dostáváme řešení
$y=C(x)\cdot e^{-e^x}=(e^x \cdot e^{e^x}-e^{e^x} +C_1) \cdot e^{-e^x}=e^x-1+C_1\cdot e^{-e^x}$ .

Pjutra · 18. 07. 2010 20:21

↑ arko619xfd:

super, ja si proctu tu latku variace konstanty a pak se podivam na to reseni od tebe, dekuju moc, ja musim umet do soboty nazpamet reseni 120 prikladu, protoze dostanu podobny zadani, tak se mi kazda pomoc hodi a nevim kde jinde nez tady ji hledat, uz mi jich zbyva asi jen 35, ale prijde mi, ze uz z nich nechapu skoro zadnej, tak jeste jednou dekuju

Matematické Fórum

#1 18. 07. 2010 17:04

diferencialni rovnice

#2 18. 07. 2010 18:31 — Editoval kaja(z_hajovny) (18. 07. 2010 18:32)

Re: diferencialni rovnice

#3 18. 07. 2010 20:04

Re: diferencialni rovnice

#4 18. 07. 2010 20:21

Re: diferencialni rovnice

Zápatí