Matematické Fórum

Lucinecka88 · 21. 07. 2010 13:06

Ahoj, prosím o pomoc s těmito příklady. Vůbec nevím jak to mám udělat. Strašně moc děkuji za pomoc.

Krezz · 21. 07. 2010 13:26

zdravim
zkus se mrknout na vyuziti moivrovy vety :) urcite na to prijdes.

Rumburak

A jak zní zadání ? Jde o binomické rovnice, které se mají vyřešit ?

Pokud ano, ukážeme si to na té rovnici 2. Nejprve její pravou stranu $-1\,+\,i$ převedeme do goniometrického (neboli polárního) tvaru,
tím rovnice dostane tvar
(1) $r^4 \,=\,\sqrt{2}$\cos \,\frac{3}{4}\pi \,+\,i\,\sin \,\frac{3}{4}\pi $$ .
V goniomerickém tvaru vyjádříme i neznámou $r$ , což můžeme provést bez dalších diskusí, neboť je zřejmé, že číslo 0 , které jako jediné komplexní číslo
nemá gonometrický tvar, kořenem naší rovnice není. Takže $r \,=\,\rho\,$\cos \,\varphi \,+\,i\,\sin \,\varphi $$ , kde $\rho \, > \,0$ , $\varphi\,\in\,[\,0,\,2\pi\,)$ jsou nyní již reálné neznámé.
Dle Moivreovy poučky provedeme umocnění neznámé $r$ : $r^4 \,=\,\rho^4\,$\cos \,4\varphi \,+\,i\,\sin \,4\varphi $$ a toto dosadíme do (1). Obdržíme tak rovnici
$\rho^4\,$\cos \,4\varphi \,+\,i\,\sin \,4\varphi $\,=\,\sqrt{2}$\cos \,\frac{3}{4}\pi \,+\,i\,\sin \,\frac{3}{4}\pi $$ .
Z ní vyplývají dvě věci:

(a) $\rho^4\,=\,\sqrt{2}$ , neboli $\rho\,=\,\sqrt[8]{2}$ (podle předpokladu, že $\rho \, > \,0$ ) ,

(b) $4\varphi \,=\, \frac{3}{4}\pi \,+\,2k\pi$ , kde $k$ je zvolené celé číslo . Odtud $\varphi \,=\, \varphi_k \,:=\frac{3}{16}\pi \,+\,k\cdot \frac{1}{2}\pi$ .

Podmínka $\varphi\,\in\,[\,0,\,2\pi\,)$ vede k nutnosti omezit se na $k \,\in\,\{0, \,1,\, 2,\, 3}$ . Pro další celočíselné hodnoty indexu $k$ bychom už žádné další kořeny
rovnice (1) stejně nedostali, neboť pro libovolné celé číslo $n$ je $\varphi_{n+4} \,=\, \varphi_{n}\,+\,2\pi$ a $2\pi$ je periodou funkcí sin, cos , takže

$\cos \,\varphi_{n+4} \,\,+\,\,i\,\sin \,\varphi_{n+4}\,\,=\,\cos \,\varphi_n \,+\,i\,\sin \,\varphi_n$ .

Jedinými kořeny rovnice (1) jsou tedy komplexní čísla

$r_k \,:=\,\sqrt[8]{2}\,$\cos \,\varphi_k \,+\,i\,\sin \,\varphi_k $\,=\,\sqrt[8]{2}\,$\cos \,\(\frac{3}{16}\pi \,+\,k\cdot \frac{1}{2}\pi $ \,+\,i\,\sin \,$\frac{3}{16}\pi \,+\,k\cdot \frac{1}{2}\pi $ \)$ , $k \,\in\,\{0, \,1,\, 2,\, 3}$ .

*********

Ta prvá rovnice by se řešila obdobně, avšak v jejím zadání je drobný problém: jak definovat druhou odmocninu z imaginárního čísla ?
Pokud definici (která není triviální a jsou k ní různé přístupy) máme, tak ji použijeme k vyjádření čísla $\sqrt{3i}$ (potřebujeme jeho
goniometrický tvar).

Nemáme-li definici pro $\sqrt{3i}$ , můžeme to obejít tím, že rovnici umocníme na druhou a místo ní pak řešíme rovnici $r^{12}\, =\, 3i$ .

Lucinecka88

↑ Krezz:

Toto je ta věta,ale nevím co do čeho dosadit.

↑ Rumburak:

Děkuji,ale nějak jsem to nepobrala. Zadání je vyřeště.

Rumburak · 21. 07. 2010 14:43

↑ Lucinecka88:
Které místo není jasné ?

Lucinecka88 · 21. 07. 2010 16:54

Udělala jsem toto,ale jak zjistím zbytek?

Rumburak · 21. 07. 2010 17:21

↑ Lucinecka88:
Takže pravá strana je nikoliv $-\sqrt{3i}$ , ale $-\sqrt{3}\cdot i$ (tj. $i$ už ne pod odmocninou) ? To je ovšem něco podstatně jiného.
Potom převodem na gon. tvar dostaneme $-\sqrt{3}\cdot i = \sqrt{3}$\cos\,\frac{3}{2}\pi\,+\,i\,\sin\,\frac{3}{2}\pi $$ , kde $\frac{3}{2}\pi$ je 270 stupňů, jak i Tobě vyšlo.

Teď ještě zbývá vyřešit rovnici

$r^6= \sqrt{3}$\cos\,\frac{3}{2}\pi\,+\,i\,\sin\,\frac{3}{2}\p$$ .

Jak ? V mém předchozím příspěvku je to popsáno, Nepodléhej panice a zkus si to prostudovat a promyslet, není to nic těžkého.
Zítra případně zodpovím nějaký doplňující dotaz, dnes už tu musím končit.

Lucinecka88 · 22. 07. 2010 10:12

↑ Rumburak:

Ahoj udělala jsem ještě toto.

To je už výsledek nebo ještě něco dál? Děkuju za pomoc.

zdenek1

↑ Lucinecka88:
$r^6=-\sqrt3 i$
od pátého řádku je to špatně.
má to být takto.
$r^6=\sqrt3(\cos270^o+i\sin270^o)$
$r_k=\sqrt[6]3\left(\cos\frac{270+k\cdot360}6+i\sin\frac{270+k\cdot360}6\right)$ , $k=0..5$

Lucinecka88 · 22. 07. 2010 10:40

↑ zdenek1:

Proč to má být takto? Děkuji za vysvětlení.

Rumburak

↑ Lucinecka88:
Ahoj, rád bych Ti pomohl, ale z Tvých příspěvků příliš nechápu, jaké je vlastně zadání o co se tedy máme snažit,
navíc tam máš dvě nesrovnalosti:

1) V prvním řádku píšeš $r^6 =-\sqrt{3i\,}=(0,-\sqrt{3})$ .
Druhá z těchto rovností, tj. rovnost $-\sqrt{3i\,}=(0,-\sqrt{3})$ , kde $i$ JE ještě POD odmocninou, je CHYBNÁ, správná by byla rovnost
$-\sqrt{3}\cdot i=(0,-\sqrt{3})$ , kde $i$ už NENÍ POD odmocninou, což je něco ZCELA JINÉHO. Jako pravděpodobnější z pohledu SŠ
matematiky mi připadá, že ta DRUHÁ varianta je správná, ale měla bys to potom správně zapisovat.

2) Je-li tedy správná ta druhá varianta, pak můžeme v úpravách pravé strany (jejím převodem do gon. tvaru) pokračovat :
$r^6 =-\sqrt{3}\cdot i\,=\,(0,-\sqrt{3}) = \sqrt{3}(\cos\,270^{\circ}+\,i\,\sin \,270^{\circ})$ , což je správně.
Pak ale nechápu, proč na pátém řádku máš místo toho
$r = \sqrt{3}(\cos\,270^{\circ}+\,i\,\sin \,270^{\circ})$ , kde $r$ už je jen v první mocnině.

Zkus se vrátit na úplný začátek a přesně zformuluj zadání úlohy. Co se vlastně má řešit ?

A) Mají se najít kořeny binomické rovnice $r^6 =-\sqrt{3}\cdot i$ (nebo snad rovnice $r^6 =-\sqrt{3i\,}$ ?) ,

nebo

B) má se číslo $-\sqrt{3}\cdot i$ (nebo snad $-\sqrt{3i\,}$ ) umocnit na šestou pomocí Moivreovy věty,
jak by naznačoval Tvůj postup od 5. řádku dále ?

Ve hře jsou tedy celkem dvě různé úlohy, navíc ve dvou různých variantách, a připadá mi, že Ti zatím není jasné, které je ta pravá :-)
(nevysmívám se, pouze usmívám).

Lucinecka88 · 22. 07. 2010 11:24

↑ Rumburak:

Zadání úlohy je řešte: $r^6 =-\sqrt{3i\,}$

Rumburak

↑ Lucinecka88:
OK. Tedy jde o nalezení kořenů binomické rovnice $r^6 =-\sqrt{3i\,}$ , jak se od začátku jevilo mně i kolegovi Zdeňkovi (viz ↑ zdenek1:).

Trváš na tom, že imaginární jednotka je POD odmocninou ? Pokud ano, tak si vzpomeň, jak jste si definovali druhou odmocninu z komplexního čísla
nebo aspoň druhou odmocninu z imaginární jednotky. Možnost by byla

$\sqrt{i\,} \,\,:= \cos\,\frac{\pi}{4} \,+\,i\,\sin\,\frac{\pi}{4}$ (tzv. hlavní větev druhé odmocniny),

takže rovnice $r^6 =-\sqrt{3i\,}$ přejde na
$r^6 =-\sqrt{3}$\cos\,\frac{\pi}{4} \,+\,i\,\sin\,\frac{\pi}{4}$\,=\,\sqrt{3}$\cos\,\frac{5\pi}{4} \,+\,i\,\sin\,\frac{5\pi}{4}$$ .

Dále je třeba postupovat analogicky jako v mém prvním příspěvku ↑ Rumburak: , kde je to podrobně vysvětleno.
K mé otázce, které místo Ti není jasné (↑ Rumburak:), ses nakonec nevyjádřila, tak předpokládám, že už bylo pochopeno ...

Lucinecka88 · 22. 07. 2010 11:59

Děkuji oběma už to snad chápu a nějak to udělám.

Matematické Fórum

#1 21. 07. 2010 13:06

komplexní čísla 3.

#2 21. 07. 2010 13:26

Re: komplexní čísla 3.

#3 21. 07. 2010 14:22 — Editoval Rumburak (22. 07. 2010 10:16)

Re: komplexní čísla 3.

#4 21. 07. 2010 14:36 — Editoval Lucinecka88 (21. 07. 2010 14:51)

Re: komplexní čísla 3.

#5 21. 07. 2010 14:43

Re: komplexní čísla 3.

#6 21. 07. 2010 16:54

Re: komplexní čísla 3.

#7 21. 07. 2010 17:21

Re: komplexní čísla 3.

#8 22. 07. 2010 10:12

Re: komplexní čísla 3.

#9 22. 07. 2010 10:33 — Editoval zdenek1 (22. 07. 2010 10:35)

Re: komplexní čísla 3.

#10 22. 07. 2010 10:40

Re: komplexní čísla 3.

#11 22. 07. 2010 11:10 — Editoval Rumburak (22. 07. 2010 11:12)

Re: komplexní čísla 3.

#12 22. 07. 2010 11:24

Re: komplexní čísla 3.

#13 22. 07. 2010 11:46 — Editoval Rumburak (22. 07. 2010 16:56)

Re: komplexní čísla 3.

#14 22. 07. 2010 11:59

Re: komplexní čísla 3.

Zápatí