Matematické Fórum

↑ check_drummer:Možno že odbočujem od témy, ale mne sa to prelína s mojim  "problémom" rovnomerného rozdelenia bodov na povrchu napr. 3 rozm. gule.
Nechce sa mi veriť, že by sa nedalo napr. 41 bodov rovnomerne rozmiestniť po povrchu gule.
Keby som mal zväzok 41 vektorov, ktoré sa na konci odpudzujú , mali by sa po čase zostabilizovať do nejakého priestorovo rovnomerného usporiadania.( Ale to je už asi o Deltaédroch)

↑ check_drummer:Myslim, keď sa dá rovnomerne na kružnici rozmiestniť n bodov ( napr. pri riešení n tých odmocnín z komplexného čísla v Gauss.rovine) tak by to malo(?) ísť aj v priestore.
Napr. ako sa to udialo tu:
http://sk.wikipedia.org/wiki/Fuller%C3%A9n
http://www.gvi.cz/files/chemie/hybridizace.pdf

Plochu 2D vieme pokryť rovnomerne rovnostrannými trojuholníkmi, Priestor 3D, zase pravidelnými tetraédrami....
Len tuším, ale neviem definovať tú rovnomernosť ( snád rovnostranné sférické trojuholníky ) :-(

↑ check_drummer:Ďakujem za navigovanie .. a mohlo by to byť "definované" ako rovnaká Euklid. vzdialenosť od všetkých susedných bodov?

↑ pietro:

Nevím, jaké je v této oblasti vžité pojmosloví a s jakými pojmy se pracuje, ale např. mě napdá, že definice rovnoměrnosti by mohla znít:
Blízkost bodu X k ostatním bodům definujeme jako B(X)=suma(1/vzdálenost(X,Y)^2)(pro X<>Y) (používám tvou myšlenku s body na povrchu koule, které se nějakou silou odpuzují). "vzdálenost" je nějaká "vhodná" vzdálenost. Pak řekneme, že body jsou rozmístěny rovnoměrně, pokud B(X)=B(Y) pro všechna X,Y a B(X) je nejmenší možné. Resp. pokud minima nelze dosáhnout, tak bychom použili definici přes infimum a "libovolně blízké" přiblížení tomuto stavu.

Ale musím upozornit, že se nám téma otázky rozbíhá poněkud jiným směrem.

↑ check_drummer: Ano odbočujeme, ale to je mojím svojským prístupom. Ospravedlňujem sa a ďakujem za poslané!
A ešte jedno malé odbočenie:
Prečo sa Gibbsov zákon fázOdkaz  v= k-f+2 opticky podobá na Eulerov vztah hran, vrcholov a ploch ..v+s-e=2 , tiež by ma zaujímalo, ale to asi inokedy.

↑ Honzc:
Ano, nutné podmínky existence jsou zřejmé, ovšem dle mého nikli samotná existence.

↑ petrkovar:

Co když s touto konstrukcí "začnu" na jedné "straně" (v nějakého vrcholu) mnohostěnu, budu přilepovat další a další mnohoúhelníky k již umístěným mnohoúhelníkům pláště a na druhé straně mnohostěnu se dostanu do problémů, protože se mi mnohoúhelníky nějakým způsobem "protnou", místo aby se jen dotýkaly?... Jak dokázata, že toto nenastane?

↑ petrkovar:

Můžu se zeptat, proč by tento důkaz sporem neměl fungovat na následující příklad?

V rovině sestrojíme n-úhelník tak, že sestrojíme úsečku AB z k ní přiložíme další dvě strany n-úhelníku tak, že s AB svírají úhel 130°. Takto přikládáme další strany, dokud se "na druhé straně" nespojí v jednom bodě a nevznikne pravidelný n-úhelník.

Tento postup samozřejmě nepovede k sestrojení pravidelného n-úhelníku, jak je vidět na následujícím obrázku.

↑ petrkovar:
Nerozumím, proč by mělo řešení záviset na tom, že počet stěn je omezený. Myslím, že případ mnohoúhelníku, který ukazuje ↑ BrozekP: lze uvést takový, aby počet hran byl "libovolný" (např. 20).
To, že u platónských tělesů známe počet hran, vrcholů a stěn bych formulovat spíše tak, že známe nutnou podmínku na tyto počty.

↑ petrkovar:
Ovšem stále nevidím, že nám toto pomůže v důkazu toho, že daný mnohostěn skutečně existuje.

↑ petrkovar:
Jak mám rozmět Tvé poslední větě:
"Dohromady je stěn jen dvanáct, proto se nejedná o nějaký "falešný" mnohostěn, ale o objekt."
?

Stále mi není z žádného argumentu jasné, že uvedeným postupem (lepením n- úhelníků kolem vrcholů) pravidelný mnohostěn vznikne, všechna uvedená tvrzení mi připadají jako nutné, nikoli postačující podmínky pro existenci pravidleného mnohostěnu.

↑ petrkovar:
Ale oněch 5 různých řešení soustavy ještě nedokazuje, že taková (pravidelná) tělesa skutečně existují.
Otázka zní, co opravdu vznikne přidáváním stěn - co když se při takovém přidání nějaké dvě stěny protnou ve svých nehraničních bodech? (Pak v místě průniknu vzniknou "nové" hrany, se kterými jsme nepočítali a tedy konstruované těleso nebude mít požadovaný počet hran.)  Může to nastat? Již tu zazněl argument, že nikoli, ale následně byl uveden příklad, že u mnohoúhelníku tato úvaha nevede k cíli.