Matematické Fórum

vlcmstn · 18. 08. 2010 12:01

Dobrý den,

pomohl by mi někdo prosím s řešením následující limity fce:

Funkci jsem si upravil (rozlozenim dle vzorce) do nasledujiciho tvaru

v tomto tvaru nemohu dosadit hodnotu -1 a nevim jake upravy provest dale...

Děkuj.
Petr

ondrouchd · 18. 08. 2010 12:48

Já bych využil lHospitalova pravidla. Tím pádem dostanu toto :
lim (2x+3)/2x+2

Rumburak

Převést danou limitu na

(1) $\lim_{x\to -1}\,\frac {x+2}{x+1}$

je správný postup. Čitatel x + 2 je v bodě x = -1 spojitý a má tam limitu (oboustrannou) rovnu -1 + 2 = 1 =/= 0 .

Proto místo limity (1) můžeme se stejným výsledkem vyšetřovat $\lim_{x\to -1}\,\frac {1}{x+1}$ a tu převést substitucí y = x + 1 na
$\lim_{y\to 0}\,\frac {1}{y}$ , kde už je cesta k výsledku velmi snadné (nutno separátně vyšetřit limitu z prava a z leva) .

teolog · 18. 08. 2010 13:00 — Editoval teolog (18. 08. 2010 13:52)

↑ Rumburak:
Chtěl bych se zeptat zkušenějších, zda je správný můj postup, který mne k tomu napadl.

$\lim_{x\to%20-1}\frac{x+2}{x+1}$

Substituce x+1 = a

$\lim_{a\to%200}\frac{a+1}{a}=\lim_{a\to%200}(1+\frac{a}{1})$ , což je +- nekonečno, podle toho, zda jdu k nule zleva nebo zprava.

Edit: Opravuji překlep, poslední limita má mít tvar $\lim_{a\to%200}(1+\frac{1}{a})$

teolog · 18. 08. 2010 13:07 — Editoval teolog (18. 08. 2010 13:36)

↑ ondrouchd:
l'Hôpitalovo pravidlo je definováno pouze pro neurčité výrazy typu $\frac{0}{0}$ nebo $\frac{\infty}{\infty}$ , což není tento případ.

Edit: Beru zpět (viz ↑ 99:).

99 · 18. 08. 2010 13:29

↑ teolog:
však jde použít LH když dosadíš -1 tak maš 1-3+2=0 a 1-2+1=0 => 0/0 takže LH jde použít
a máš lim (2x+3)/2x+2 což je po dosazení 1/0 => + - nekonečno a záleží zda se jde k nule zprava nebo zleva

Rumburak

↑ teolog:
Nevím, zda jsem zkušenější :-) , každopádně převod dané limity na
$\lim_{a\to%200}\frac{a+1}{a}=\lim_{a\to%200}(1+\frac{1}{a})$
(v podstatě vydělení čitatele jmenovatalem) je také správně.
Ale pozor na správný tvar "zbytkového" zlomku - v Tvém zápise je chyba vzniklá záměnou čitatele a jmenovatele - nejspíš jde o přehlédnutí :-).

Souhlasím i s Tebou uvedenými podmínkami pro použití l'Hospitalova pravidla - jen doplním maličkost - u typu s "nekonečnem ve jmenovateli"
už netřeba klást žádné podmínky na limitu čitatele - stačí, když je čitatel definiován na redukovaném okolí "limitního" bodu a má v tomto okolí
vlastní derivaci.

teolog · 18. 08. 2010 13:51

↑ Rumburak:
Jasně, to je jen překlep. Díky

Rumburak · 18. 08. 2010 14:05

↑ 99:
Jde o to, ve které fázi výpočtu by se mělo l'Hospitalovo pravidlo použít.

Před vykrácením původního zlomku výrazem (x + 1) když i čitatel jde k 0 ho použít můžeme (ale i tak budeme muset přejít k jednostranným limitám),
po tomto vykrácení už je použití l'H. p. nepřípustné.

vlcmstn · 20. 08. 2010 13:50

↑ Rumburak:

nechapu co myslis tim -1 + 2 = 1 =/= 0 . konretne =/= 0

a ten prepis na 1/x+1 jakou upravou si se k tomu dostal ?

Asinkan · 20. 08. 2010 14:13

↑ vlcmstn:
Dostaneš $\frac{-1+2}{-1+1}=\frac{1}{-1+1}=\frac{1}{0}$ a musíš tedy udělat limitu z prava a z leva $x-> -1$ .

Rumburak · 20. 08. 2010 14:24

↑ vlcmstn:

=/= zde znamená "nerovná se" (snad se to škrtnutému rovnítku podobá aspoň trochu). Někde jsem to zde na foru viděl a docela se mi to líbilo.

Ten postup byl míněn podrobně takto:

Podle věty o limite součinu (pozorně si prostuduj její znění) platí

(1) $\lim_{x\to -1}\,\frac {x+2}{x+1}=\lim_{x\to -1}\, $(x+2)\cdot\frac{1}{x+1}$=\lim_{x\to -1}\, (x+2)\,\cdot\lim_{x\to -1}\, \frac{1}{x+1}$ ,

což je podle zmíněné věty nutno číst "má-li pravá strana v (1) smysl, pak má smys i levá strana a platí rovnost".

Pravou stranu této složené rovnosti můžeme dále zapsat jako

$1\cdot\,\lim_{x\to -1}\, \frac{1}{x+1}$ neboli rovnou $\lim_{x\to -1}\, \frac{1}{x+1}$ , protože $\lim_{x\to -1}\, (x+2) = 1$ .

Takže celkem platí

(2) $\lim_{x\to -1}\,\frac {x+2}{x+1}=\lim_{x\to -1}\, \frac{1}{x+1}$ ,

pokud má smysl PRAVÁ strana této rovnosti.
Obdobnou úvahou "opačným směrem" by šlo ukázat, že k platnosti (2) stačí, aby měla smysl LEVÁ strana této rovnosti.
Obě limity v (2) jsou tedy rovnocenné (jak co do hodnoty, tak co do existence).
A jak se ukáže dalším rozborem, ani jedna z nich neexistuje (jako oboustranná).

vlcmstn · 23. 08. 2010 11:24

↑ Rumburak:

OK rozumim tomu prepisu, ale porad mi neni jasne jaky je vysledek ?
Ta rovnice (2) nema smysl protoze ve jmenovateli by byla nula.

Jaky je dalsi postup ?

halogan · 23. 08. 2010 11:28

↑ vlcmstn:

V zadnem jmenovateli nulu nevidim. Z definice limity vim, ze me funkcni hodnota v -1 nezajima.

vlcmstn · 23. 08. 2010 11:39

↑ halogan:

ano funkcni hodnota v -1 me nezajima protoze fce pro tuto hodnotu neni definovana, ale to asi nebude vysledek ?

halogan · 23. 08. 2010 11:52

↑ vlcmstn:

Tak to neni. Funkcni hodnota v -1 me nezajima, protoze o te se v definici limity nic nerika.

vlcmstn

↑ halogan:

v definici limity se rika : ze pokud dosadim cislo -1 tak ve jmenovateli mam 0 tzn. hledam limitu (hranici) ktera urcuje kam az se smim priblizovat dokazes tuto hranici vypocitat ?

vlcmstn · 23. 08. 2010 11:58

↑ halogan:

jeste jedna vec nejak nerozumim tve logice ja napisu

Tak to neni. Funkcni hodnota v -1 me nezajima,

a ty mi odepises

Tak to neni. Funkcni hodnota v -1 me nezajima

????

halogan · 23. 08. 2010 12:15

↑ vlcmstn:

vlcmstn napsal(a):
ano funkcni hodnota v -1 me nezajima protoze fce pro tuto hodnotu neni definovana...

Správný závěr, ale špatné odůvodnění.

Ta hodnota nás nikdy nezajímala, protože to prostě není podstata limity. Pročti si v rychlosti první dva body tady — je tam vysvětlené, jak to zhruba funguje.

Pak se dostaneme k jádru věci.

vlcmstn · 23. 08. 2010 12:42

OK, tak teda jinak.
Zkoumáme, k jaké funkční hodnotě se funkce blíží, tou hodnotou je evidentně nula.
-1 je pouze nezávislá hodnota kterou dosazujeme a nezajímá nás její funkční hodnota (protoře fce pro ni není definována).

Mě tedy zajímá, kde je ta hranice kam až se můžu přibližovat k nule? a jak se k ní dopočítám ?

jarrro · 23. 08. 2010 12:47

limita $\lim_{x\to -1}{\frac{1}{x+1}}$ neexistuje lebo $\lim_{x\to -1^+}{\frac{1}{x+1}}=\infty\wedge \lim_{x\to -1^-}{\frac{1}{x+1}}=-\infty$

vlcmstn · 23. 08. 2010 12:54

↑ jarrro:

aha takze se mohu priblizovat k nule z obou stran nekonecne ?
to zni docela logicky fce je tedy spojita ve vsech pripadech krome -1 ale jak si k tomu docel to nejak nechapu dle toho zapisu to vypada jako bys uvalozoval ze 1/0 je nekonecno....

halogan · 23. 08. 2010 13:20

↑ vlcmstn:

Neni to 1/0, ale 1/(hrozne male cislo, ktere se stale zmensuje) v pripade limity zprava, nebo to same, akorat zaporne v pripade limity zleva.

A co se stale, kdyz jednicku delis stale mensim cislem?

jarrro · 23. 08. 2010 13:22 — Editoval jarrro (23. 08. 2010 13:44)

↑ vlcmstn:áno platí $\lim_{x\to a}{f\left(x\right)}=0\Rightarrow \lim_{x\to a^+}{\left|\frac{\text{cislo}}{f\left(x\right)}\right|}=\lim_{x\to a^-}{\left|\frac{\text{cislo}}{f\left(x\right)}\right|}=\infty$ či existuje aj limita bez absolútnej hodnoty záleží na tom či f(x) mení na okolí a znamienko

vlcmstn · 23. 08. 2010 13:25

↑ jarrro:
↑ halogan:

Diky moc, ted uz to konecne chapu !!!!

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2010 12:01

Jednoduchá limita

#2 18. 08. 2010 12:48

Re: Jednoduchá limita

#3 18. 08. 2010 12:48 — Editoval Rumburak (18. 08. 2010 12:49)

Re: Jednoduchá limita

#4 18. 08. 2010 13:00 — Editoval teolog (18. 08. 2010 13:52)

Re: Jednoduchá limita

#5 18. 08. 2010 13:07 — Editoval teolog (18. 08. 2010 13:36)

Re: Jednoduchá limita

#6 18. 08. 2010 13:29

Re: Jednoduchá limita

#7 18. 08. 2010 13:48 — Editoval Rumburak (20. 08. 2010 12:48)

Re: Jednoduchá limita

#8 18. 08. 2010 13:51

Re: Jednoduchá limita

#9 18. 08. 2010 14:05

Re: Jednoduchá limita

#10 20. 08. 2010 13:50

Re: Jednoduchá limita

#11 20. 08. 2010 14:13

Re: Jednoduchá limita

#12 20. 08. 2010 14:24

Re: Jednoduchá limita

#13 23. 08. 2010 11:24

Re: Jednoduchá limita

#14 23. 08. 2010 11:28

Re: Jednoduchá limita

#15 23. 08. 2010 11:39

Re: Jednoduchá limita

#16 23. 08. 2010 11:52

Re: Jednoduchá limita

#17 23. 08. 2010 11:55 — Editoval vlcmstn (23. 08. 2010 11:57)

Re: Jednoduchá limita

#18 23. 08. 2010 11:58

Re: Jednoduchá limita

#19 23. 08. 2010 12:15

Re: Jednoduchá limita

vlcmstn napsal(a):

#20 23. 08. 2010 12:42

Re: Jednoduchá limita

#21 23. 08. 2010 12:47

Re: Jednoduchá limita

#22 23. 08. 2010 12:54

Re: Jednoduchá limita

#23 23. 08. 2010 13:20

Re: Jednoduchá limita

#24 23. 08. 2010 13:22 — Editoval jarrro (23. 08. 2010 13:44)

Re: Jednoduchá limita

#25 23. 08. 2010 13:25

Re: Jednoduchá limita

Zápatí