Matematické Fórum

Rumburak

↑↑ vlcmstn:

Dostal jsem se k této diskusi později, ale kolegové to, jak se zdá, mezitím vysvětlili.
Jen doplním několik (možná už zbytečných) poznámek:

V definici limity funkce f v bodě c se nevyskytuje žádná zmínka o hodnotě f(c), proto tato funkční hodnota ani její existence obecně nemají
na existenci či hodnotu oné limity žádný vliv.

Funkční hodnotu f(c) můžeme při výpočtu limity v bodě c využít pouze v případech, kdy víme, že funkce f je v tomto bodě spojitá.
(Ke spojitosti funkce v bodě c je především nutné, aby definiční obor funkce f obsahoval nějaký otevřený iterval (a, b), v němž leží bod c.)
Platí totiž věty

I. Je-li funkce f spojitá v bodě c, potom $\lim_{x\to c} f(x) = f(c)$ .

II. Je-li funkce f spojitá zprava v bodě c, potom $\lim_{x\to c+} f(x) = f(c)$ .

III. Je-li funkce f spojitá zleva v bodě c, potom $\lim_{x\to c-} f(x) = f(c)$ .

Je tomu tak proto, že definice limity a definice spojitosti mají určitý společný základ, takže máme-li již definován pojem limity, můžeme
pomocí něho následně definovat pojem spojitosti výrokem

Funkce f je spojitá v bodě c , právě když má v tomto bodě vlastní limitu splňující $\lim_{x\to c} f(x) = f(c)$ ,

což je v podstatě jen zkrácený zápis oněch méně přehledných definic spojitosti opírajících se o elementárnější prostředky, jimiž jsou okolí bodu
nebo přímo "epsilon-delta gymnastika" .
Analogickým způsobem (pomocí odpovídající jednodnostranné limity) lze definovat jednostrannou spojitost.

Citované případy I. II., III. se však naší úlohy zřejmě netýkají. Limitu $\lim_{x\to -1}\, \frac{1}{x+1}$ převedeme substitucí x+1 = y
(tj. podle věty o limitě složené funkce) na limitu $\lim_{y\to 0}\, \frac{1}{y}$ , ktará ale neexistuje, protože

(*) $\lim_{y\to 0-} \frac{1}{y} = -\infty$ , zatímco $\lim_{y\to 0+} \frac{1}{y} = +\infty$
(a limita zleva tedy není stejná jako limita zprava). Podle věty o limitě složené funkce proto nemůže existovat ani $\lim_{x\to -1}\, \frac{1}{x+1}$ .

Platnost vzorců (*) se obvykle dokazuje přímo z definice příslušných limit.

Matematické Fórum

#26 23. 08. 2010 14:48 — Editoval Rumburak (23. 08. 2010 15:06)

Re: Jednoduchá limita

Zápatí