Matematické Fórum

hexogen · 19. 08. 2010 18:51

Ahoj,
mohl by mi prosím někdo nějak srozumitelně vysvětlit, proč zrovna Taylorův polynom (stačí pro fce jedné proměnné) je nejlepší aproximací funkce v bodě? Podrobný důkaz je v Jarníkovi, ale to jsem hned zas zavřel, a netroufám si na tu teorii oskulačních kružnic, jak jí tam rozebírá. Kdysi jsem někde zahlédl takové intuitivní vysvětlení, kde začali nejprve diferenciálem a pak nějak tam postupně dostaly ty vyšší derivace a n!, ale už si to nepamatuju a zrovna nějak v tomhle duchu by mi to pomohlo. Díky za odpověď.

pietro · 19. 08. 2010 19:00

↑ hexogen:ahoj .. a máš pravdu..oplatí sa s Taylorom zaoberať... nájdeme ?

jelena · 19. 08. 2010 19:02

↑ pietro: snad tato hezká animace pomůže :-) děkuji autorovi.

Zdravím.

hexogen · 20. 08. 2010 13:20

↑ jelena:
Díky moc, ta prezentace je přesně to, co jsem potřeboval.

Rumburak

↑ hexogen:
K Taylorovu polymomu lze dospět též integrací per partes. Pro jednoduchost to ukážeme na speciálním případu, kdy středem rozvoje je bod 0,
kteréžto omezení ale není podstatné.

O funkci f předpokládejme, že je dostatečně hladká na okolí U bodu 0 . A vezměme pevné x z tohoto okolí. Předně platí

$f(x) - f(0) = \int_0^x f'(t)\,\text{d}t$

(vzorec je znám jako Newton-Leibnizova věta), odtud

$f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t)\,\text{d}t = f(0) + \int_0^x f'(t)\cdot 1 \,\text{d}t = f(0) \,+\, \[f'(t)(t-x)\]_{t=0}^x \,-\int_0^x f''(t)(t-x)\,\text{d}t =$
$= f(0) + f'(0)x\,-\int_0^x f''(t)(t-x)\,\text{d}t = ...$ atd.
Trik byl v tom, že za primitivní funkci k "tajné funkci" 1 (proměnné t) jsme zvolili t - x.
Metodu per partes dále opakujeme tak, že fukci f postupně "více a více" derivujeme, zatímce funkci t - x "více a více" integrujeme (dle t).