Matematické Fórum

Asinkan

Ahoj, mám dokázat, že operátor $T:L^2(0,1)\to L^2(0,1)$ definovaný předpisem $T(u)(t)=t\int_0^1u(\tau)d \tau$ je lineární a omezený. S linaritou nemám problém, ale nemůžu dokázat omezenost, tedy $||Tu||\leq M ||u||$ kde M je kladná konstanta.

Norma v $L^2$ je $||u(t)||=(\int_0^1 |u(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}}$

Kam jsem dospěl:

$\left( \int_0^1\left| t\int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 dt\right)^{0.5}=$ 't' je číslo od 0 do 1= $\left( \int_0^1t^2dt\left| \int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 \right)^{0.5}$

Tedy potřebuji dokázat:
$\left( \int_0^1t^2dt\left| \int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 \right)^{0.5}\leq M (\int_0^1 |u(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}}$ umocním a řeknu, že $M^2=M_0$
$\int_0^1t^2dt\left| \int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 \leq M_0 \int_0^1 |u(t)|^{2}dt$
$\frac{1}{3}\left| \int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 \leq M_0 \int_0^1 |u(t)|^{2}dt$ vynásobím třemi
$\left| \int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 \leq M_1 \int_0^1 |u(t)|^{2}dt$

Tady jsem se zasek. Pouze vím, že $\int_0^1 |u(t)|^{2}dt<\infty$ to vyplývá z definice $L^2(0,1)$ prostorů.

Rumburak · 25. 08. 2010 13:24

↑ Asinkan:
$||Tu||^2 = \int_0^1\left| t\int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 dt= \int_0^1t^2\left|\int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2 dt=\left|\int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2\int_0^1t^2 dt= \frac{1}{3}\left|\int_0^1 u(\tau)d\tau \right|^2$ .

Dále použijeme tajnou funkci $v \eq 1$ a Schwarzovu nerovnost:

$\left|\int_0^1 u(\tau)d\tau \right| = \left|\int_0^1 v(\tau)\cdot u(\tau)d\tau \right| \le ||v||\cdot||u||$ .

Odtud snad jasné.

Asinkan

↑ Rumburak:
Máš pravdu. Ještě mě napadlo použít Hölderovu nerovnost, kdy $1\in L^1(0,1)$ . Ale ta Schwartzova bude jednoduší. Díky

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2010 12:36 — Editoval Asinkan (25. 08. 2010 12:59)

Omezený lineární operátor

#2 25. 08. 2010 13:24

Re: Omezený lineární operátor

#3 25. 08. 2010 13:39 — Editoval Asinkan (26. 08. 2010 20:12)

Re: Omezený lineární operátor

Zápatí