Matematické Fórum

tonda13 · 28. 08. 2010 21:27

Mám množinu (čtyřúhelník) popsaný čtyřmi body:
[0,0]; [2,4]; [4,0]; [3,-3]
A nevím jak určit meze dvojnásobného integrálu...

Výsledek má být takto:
$\int\int_Mf(x,y)dxdy = \int_0^2\int_{-x}^{2x}f(x,y)dydx + \int_2^3\int_{-x}^{8-2x}f(x,y)dydx + \int_3^4\int_{3x-12}^{8-2x}f(x,y)dydx$
...ty první meze ještě chápu, vždy se jedná o úsek na ose x přes který interguji, ale ty druhé vůbec.
Můžete mi prosím poradit, děkuji.

Asinkan

↑ tonda13:
Nakresli si obrázek a ty body spoj přímkami. Rovnice popisující ty přímky (např y=-x) jsou ty meze.

Asinkan

↑ tonda13:
Jen pro detail, označuje se to jako dvojný, ne dvojnásobný integrál.

Stýv · 28. 08. 2010 21:54

↑ Asinkan: dvojný je jenom ten integrál vlevo, ty vpravo jsou dvojnásobné

tonda13 · 28. 08. 2010 22:02

↑ Asinkan:
To jsem udělal, ale nějak mi to není jasný u tý meze 8-2x (kde vzali tu osmičku?) a taky ta 3x-12 mi není jasná.

Stýv · 28. 08. 2010 22:08

přímka procházející body (2,4) a (4,0) má rovnici y=8-2x. to je učivo střední školy

Asinkan · 28. 08. 2010 23:46

↑ tonda13:
To číslo před 'x' zjistíš tak, že se koukneš o kolik ta funkce poporostla na ose 'y' když na ose x popoleze o 1. A to druhý číslo je číslo, kde přímka protne osu 'y'.

Rumburak

↑ tonda13:
Obecně se postupuje takto:

1. Nakreslíš si obrazec M do soustavy souřadnic.

2. Určíš kolmý průmět obrazce M do osy x - tím získáš množinu A na ose x, přes kterou se bude nakonec integrovat podle x.

3. Zvoleným bodem x množiny A vedeš kolmici k ose x, tím vznikne průřez obrazcem M touto přímkou. Onen průřez kolmo promítneš
na osu y , tím získáš na ose y množinu B(x) - obvykle interval, jehož meze jsou funkcemi x - přes níž se integruje podle y.

Jsou-li splněny předpoklady Fubiniovy věty, bude
$\int\int_Mf(x,y)dxdy = \int_A\int_{B(x)}\,\,f(x,y)dydx$ .

Je tedy důležité správně popsat množniy A, B(x). Je-li hranicí obrazce například lomená čára, v jejímž popisu figuruje funkce, jejíž
předpis se větví do několika částí, pak se obdobně bude větvit popis množiny B(x) podle volby x, s čímž se vypořádáme tak, že obrazec M
předem rozložíme (pomocí řezů kolmých k ose x) na "skoro disjunktní" sjednocení vhodných částí (takových, aby na těchto částech zmíněný
problém již nenastal, takže ony řezy vedeme těmi vrcholy hraniční lomené čáry) a dvojný integrál přes obrazec M pak bude roven součtu
dvojných integrálů z takto získaných částí obrazce M.

Slovy "skoro disjuktní" jsem chtěl říci, že průnik dvou částí musí mít nulovou dvourozměrnou míru, což bude splňovat, pokud bude podmnožinou
přímky, případně prázdný.

EDIT: Úlohu ssouřadnicových os x, y lze samozřejmě vzájemně zaměnit s ohledem na větší výhodnost postupu (aby bylo snadné provést
uvedený postup včetně výpočtu integrálů).

Matematické Fórum

#1 28. 08. 2010 21:27

Meze dvojnásobného integrálu

#2 28. 08. 2010 21:41 — Editoval Asinkan (28. 08. 2010 21:41)

Re: Meze dvojnásobného integrálu

#3 28. 08. 2010 21:45 — Editoval Asinkan (28. 08. 2010 21:45)

Re: Meze dvojnásobného integrálu

#4 28. 08. 2010 21:54

Re: Meze dvojnásobného integrálu

#5 28. 08. 2010 22:02

Re: Meze dvojnásobného integrálu

#6 28. 08. 2010 22:08

Re: Meze dvojnásobného integrálu

#7 28. 08. 2010 23:46

Re: Meze dvojnásobného integrálu

#8 30. 08. 2010 10:54 — Editoval Rumburak (30. 08. 2010 14:08)

Re: Meze dvojnásobného integrálu

Zápatí