Matematické Fórum

mcj · 31. 08. 2010 23:30

Zdravím,
nevím si vůbec rady s následujícím příkladem:

Vyšetřete konvergenci newtonova integrálu
$\int_0^\infty cos( x^a + 1 ) dx$
v závislosti na 0 <= a < infinity.

Rumburak

Pro a = 0 dostaneme $\int_0^\infty \cos\,2 \, \text{d}x = - \infty$ , protože cos 2 < 0 .

Pro a > 0 provedeme substituci $x^a + 1 = y$ , tím integrál $\int_0^\infty \cos( x^a + 1 ) \text{d}x$ převedeme na $\frac{1}{a}\int_1^\infty (y-1)^{\frac{1}{a}-1}\,\cos\, y \,\text{d}y$ .

Nový integrál rozložíme na součet

$\int_1^{1+\varepsilon} (y-1)^{\frac{1}{a}-1}\,\cos\, y \,\text{d}y \,+\, \int_{1+\varepsilon}^\infty (y-1)^{\frac{1}{a}-1}\,\cos\, y \,\text{d}y$ , kde $1 \,< \,1+\varepsilon \,<\, \frac{\pi}{2}$ .

Prvý ze sčítaných integrálů bude konvergovat stejně jako $\int_1^{1+\varepsilon} (y-1)^{\frac{1}{a}-1} \,\text{d}y$ ,

na druhý by mohla zabrat druhá věta integrálního počtu o střední hodnotě .

Olin · 01. 09. 2010 10:27

Na konvergenci druhého integrálu bude také fungovat Dirichlet-Abelovo kritérium pro Newtonovy integrály. Důkaz divergence pro ostatní hodnoty $a$ bude zajímavější - asi použít Bolzano-Cauchyovu podmínku pro funkce.

andrew · 03. 09. 2010 11:20

imho zavedeme-li substituci x^a + 1 = y + 1 jde o tzv. zobecneny Fresneluv integral. Nasledny integral po substituci a mensiho rozepisu pro cos(y+1) lze vypocitat treba takto (viz. priklad 3, resp. pr. 2). Takze prislusny integral konverguje pro a \in (1, inf).

Matematické Fórum

#1 31. 08. 2010 23:30

Vyšetření konvergence newtonova integrálu

#2 01. 09. 2010 09:49 — Editoval Rumburak (01. 09. 2010 10:11)

Re: Vyšetření konvergence newtonova integrálu

#3 01. 09. 2010 10:27

Re: Vyšetření konvergence newtonova integrálu

#4 03. 09. 2010 11:20

Re: Vyšetření konvergence newtonova integrálu

Zápatí