Matematické Fórum

Pavel Brožek · 07. 09. 2010 12:57

Úloha v tématu Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ je zadána v knize Úvod do kvantové teorie od Jiřího Formánka (dodatek B, úloha U-B-46). Krátce před ní je zadána teké jednodušší úloha, která má možná sloužit jako návodná úloha.

Úloha U-B-43 napsal(a):
Dokažte Hausdorffovu formuli

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\hat{A}}\hat{B}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\hat{A}}=\hat{B}+\mathrm{i}[\hat{A},\hat{B}]+\frac{\mathrm{i}^2}{2!}[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]]+\ldots+\frac{\mathrm{i}^n}{n!}[\hat{A},[\hat{A},[\ldots[\hat{A},\hat{B}]\ldots]]]+\ldots$

Stříška značí operátory, i je komplexní jednotka, která tam je (předpokládám) z důvodu použití v kvantové fyzice. Pro nás to tedy můžeme zjednodušit na tvrzení o maticích A a B:

$\mathrm{e}^{A}B\mathrm{e}^{-A}=B+[A,B]+\frac{1}{2!}[A,[A,B]]+\ldots+\frac{1}{n!}[A,[A,[\ldots[A,B]\ldots]]]+\ldots$

Tuto úlohu jsem vyřešil, nechám ale jistý čas pro řešení ostatních, než sem vložím své řešení.

Matematické Fórum

#1 07. 09. 2010 12:57

Hausdorffova formule

Úloha U-B-43 napsal(a):

Zápatí