Matematické Fórum

polož si mince nad sebe, horní je spodkem u vršku tý spodní. oběhni o půl kolečka. ta obíhající se dostane vrškem na spodek tý druhý. je tedy orientovaná stejně jako na začátku, tedy se už otočila o 360°

Neměla by otázka spíš znít „Koľko otočení okolo vlastnej osi vykoná minca ktorou točíme, kým 1x obehne nehybnú mincu?“

↑ lander:
Myslím, že jedním z nejelegantnějších vysvětlení (důkazů) je tento:
1. Je jasné, že pokud kotálíme kružnici po přímce (rovné podložce), tak když se jednou otočí ujede dráhu rovnou svému obvodu.
2. Teď si představme, že tu úsečku někde nalomíme (třeba pravý konec smšrem dolů). Co se stane když kružnice dojede k tomuto nalomení. Stojí na zlomu a její střed nyní musí, aby se přesunul na tu druhou polopřímku, opsat úhel, který je rovný doplňkovému úhlu k úhlu nalomení.
(musí se tedy natočit o 180-ú.z). Přitom ovšem kružnice neujela žádnou dráhu.
3. A teď už je to jednoduché. Úsečku, která odpovídá ujeté dráze "nalámeme" tak, aby tvořila konvexní n-úhelník. V souladu s tvrzením 2. je jasné (protože součet doplňkových úhlů v konvexním n-úhelníku je 360 st), že se kružnice otočí o jednou více, než by odpovídal počet otočení při kotálení po přímce. Protože kružnice je vlastně n-úhelník o nekonečném počtu vrcholů, platí výše uvedené i pro kotálení kružnice po vnější strané nehybné kružnice. (v našem případě se tedy otočí 1+1=2x)

Ještě malý dovětek. Takto jsou tvořeny křivky zvané epicykloidy. Aplety, kde je možné počítat počty otáček -např. zde

Jiné pěkné vysvětlení dostaneme, když si obě mince představíme jako ozubená kola s jedním červeným zubem.
Na začátku se obě kola dotýkají (přibližně) červeným zubem. Jak to vypadá za půl otáčky? Podrobnosti nechám k promyšlení.