Matematické Fórum

pavlik93 · 14. 09. 2010 23:28

Prosím o radu jak vypočítat tento příklad? Děkuji!!
Jsou dány souřadnice bodů A [1,0] B[5,2] zjistěte souřadnice zbylých dvou bodů C,D jedná-li se o čtverec

teolog · 14. 09. 2010 23:34

↑ pavlik93:
Vzhledem k pozdní hodině a celkové mentální vyčerpanosti nastíním postup, který je možná příliš primitivní, ale funguje.

Z bodu A do bodu B se dostanu posunutím o 4 políčka doleva a 2 políčka nahoru. Když budu chtít jít z bodu A do bodu D, tak půjdu jakoby obráceně, tedy o 4 políčka nahoru a o dvě políčka doleva. A z takto nalezeného bodu D půjdu do bodu C stejně, jako z A do B.

Jen bych ještě dodal, že z bodu A do bodu D můžu jít ještě dolů, tedy bych to viděl na dvě řešení.
K tomuto primitivnímu řešení doporučuji náčrtek, nejlépe na čtverečkovaný papír.

pavlik93 · 14. 09. 2010 23:39

↑ teolog:
děkuji za nástin postupu :-) výsledek náčrtkem mi vyšel, ale potřebuji toto zjistit výpočtem, přesto děkuji

teolog · 14. 09. 2010 23:39 — Editoval teolog (14. 09. 2010 23:41)

↑ pavlik93:
Jinak by se to standartně mělo řešit přičítáním vektorů k bodům případně přičítáním normálových vektorů k bodům.
Podobný příklad se řešil v tomto tématu.

EDIT: Kdyby to z toho nebylo jasné, tak sem ještě napište. Já bych to zkusil rozepsat pořádně i s výpočtem.

pavlik93 · 14. 09. 2010 23:45

↑ teolog:

:-( není jasné

teolog · 14. 09. 2010 23:49 — Editoval teolog (14. 09. 2010 23:59)

↑ pavlik93:

Pro zjednodušení beru v únahu jen jedno řešení. To druhé bude symetrické a najít ho by nemělo být těžké.

Bod D získám přičtením vektoru k bodu A. Tento vektor je kolmý na vektor určený body AB.

Tedy $\vec{AB}=(4,2)$ a normálový vektor (kolmý) bude vektor $\vec{DA}=(-2,4)$ .
$A+\vec{DA}=D=[-1,4]$
Tím jsme našli bod D.
A nyní stačí k bodu D přičíst vektor $\vec{AB}$ , protože vektory $\vec{AB}$ a $\vec{DC}$ jsou shodné.
Tedy $D+\vec{AB}=C=[3,6]$

Druhé řešení spočívá v tom, že normálový vektor k vektoru $\vec{AB}$ je i vektor $(2,-4)$ .

pavlik93 · 15. 09. 2010 00:02

↑ teolog:

děkuji moc

Cheop · 15. 09. 2010 09:00 — Editoval Cheop (15. 09. 2010 14:08)

↑ pavlik93:
Nastíním zde "trochu" složitější postup.
1) Vypočítáme vzdálenost bodů AB = strana čtverce
2) Protože to je čtverec pak vzdálenost bodů BD (AC) je úhlopříčka čtverce tj. $a\sqrt2$ ( a = strana čtverce)

Vzdálenost AB = a
$a=\sqrt{(5-1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{20}$
Vzdálenost BD (AC)
$u=a\sqrt2=\sqrt2\cdot\sqrt{20}=\sqrt{40}$
Bod D bude ležet na průsečíku kružnic:
Středy kružnic budou v bodech A resp. B
$(x-1)^2+(y-0)^2=20\nl(x-5)^2+(y-2)^2=40\nlx^2+y^2-2x=19\nlx^2+y^2-10x-4y=11\nl8x+4y=8\nly=2-2x\nlx^2+4x^2-8x+4-2x=19\nlx^2-2x-3=0\nl(x-3)(x+1)=0\nlx_1=3\nlx_2=-1\nly=2-2x\nly_1=2-6=-4\nly_2=2+2=4\nlD=(x_1;\,y_1)=(3;\,-4)\nlD'=(x_2;\,y_2)=(-1;\,4)$
Bod C bude ležet na průsečíku kružnic:
$(x-1)^2+(y-0)^2=40\nl(x-5)^2+(y-2)^2=20\nlx^2+y^2-2x=39\nlx^2+y^2-10x-4y=-9\nl8x+4y=48\nly=12-2x\nlx^2+4x^2-48x-2x+105=0\nlx^2-10x+21=0\nl(x-7)(x-3)=0\nlx_1=7\nlx_2=3\nly_1=12-2x=12-14=-2\nly_2=12-6=6\nlC=(x_1;\,y_1)=(7;\,-2)\nlC'=(x_2;\,y_2)=(3;\,6)$
Řešení:
$D=(3;\,-4)\nlD'=(-1;\,4\nlC=(7;\,-2)\nlC'=(3;\,6)$
Obrázek