Matematické Fórum

Cynyc · 15. 09. 2010 14:42

Dobrý den,

mám problémy s limitou posloupnosti $(sin n)^{a_n}$ . Dokázal jsem neexistenci pro $a_n$ rostoucí nejvýše jako $n^2$ , pro rychleji rostoucí $a_n$ stejný způsob užít nelze a zatím se mi do toho nedaří proniknout. Je to opravdu těžký, nebo něco přehlížím?

Předem díky,

Cynyc

Rumburak · 15. 09. 2010 15:01

↑ Cynyc:
A jak je úloha formulována ?
Podotýkám, že i zde máme triviální případ, kdy posloupnost $$(sin n)^{a_n}$$ konverguje, a sice případ $a_n \eq 0$ pro všechna n.

Cynyc · 15. 09. 2010 15:19

↑ Rumburak:
Třeba takto: nalezněte množinu všech kladných r takových, že pro $a_n=n^r$ je výše uvedená posloupnost konvergentní. Obecněji se snažím zjistit, jak rychle musí kladná rostoucí $a_n$ růst, aby posloupnost konvergovala.

Rumburak · 15. 09. 2010 15:57

↑ Cynyc:
Bude tam problém s definicí členů $(sin n)^{a_n}$ , kdy $sin n \,<\, 0$ , $a_n$ jiné než celé (pokud chceme zůstat v reálném oboru).
Vypadá to na úlohu velmi netriviální, a to i tehdy, když se v hodnotách parametru r omezíme pouze na přirozená čísla.
Já momentálně nemám nápad, ale je možné, že někdo jiný se chytne lépe.

Cynyc · 15. 09. 2010 16:25

↑ Rumburak:
Máte samozřejmě pravdu, měl jsem původní posloupnost nadefinovat jako $|\sin n|^{a_n}$ . Doufám, že teď už tam nejsou žádné formální nedostatky a zbylo jen jádro pudla :-)

Pavel · 15. 09. 2010 17:46

↑ Rumburak:

Probém bude mít úzkou souvislost s tzv. řetězovými zlomky. K hodnotě $(2k+1)\cdot\frac{\pi}{2}$ , $k\in\mathbb N$ v nichž nabývá sinus hodnoty 1 nebo -1, se můžeme s přirozenými čísly libovolně přiblížit pomocí "vhodných" racionálních aproximací čísla $\pi$ . Např.

$\Large \frac{22}{7}\,,\ \frac{333}{106}\,,\ \frac{355}{113}\,,\ \frac{103993}{33102}\,,\,\ldots$

Pro jednoduchost z nich vyberu ty zlomky, které mají sudého čitatele a lichého jmenovatele. (s lichými čitateli by se dalo taky pracovat, ale to ponechám bokem)

$\Large \frac{22}{7}\,,\ \frac{104348}{33215}\,,\ \frac{1146408}{364913}\,,\,\ldots$

Tyto zlomky, označme je $p/q$ , aproximují číslo $\pi$ ( $p/q\approx\pi$ ). Protože $\sin x$ je dokonce stejnoměrně spojitá funkce, platí, že

$\Large \sin\frac p2\approx \sin(q\cdot\frac{\pi}{2})$

$\sin(11)\approx -1,\quad\sin(52174)\approx -1,\qquad\sin(573204)\approx 1,\ \ldots$

Přirozená čísla jako 11, 52174, 573204 budou tvořit spec. vybranou posloupnost přir. čísel, v nichž bude sinus nabývat hodnoty téměř 1 nebo -1. Pak by se stačilo zabývat jen posloupnosti abs. hodnot sinů v těchto přir. číslech, jak rychle se blíží k 1 apod.

Rumburak

↑ Pavel:, ↑ Cynyc:
To je pravda. V celku si myslím, že bude důležité určit nebo (realističtěji) aspoň odhadnout funkci $m(h)$ , která číslu $h\,\in\,(0,\,1)$ přiřadí
nejmenší z přirozených čísel $n$ , pro která $|\sin\,n| \,\ge \,h$ . Zejména jde o rychlost růstu této funkce při $h \,\to\, 1-$ . To je podle mne už
docela jemný problém vyžadující dosti speciální znalosti, ale více k tomu říci neumím.

Wotton · 02. 07. 2011 09:56

↑ Cynyc:

počkej, hledáš r takový že posloupnost $|\sin n|^{n^r}$ konverguje, nebo "nejpomaleji" rostoucí posloupnost $a_n$ pro kterou to konverguje? Jde mi o to, jestli existuje polynomiálně rostoucí $a_n$ ktrý by to splňovalo...

Cynyc · 02. 07. 2011 11:31

↑ Wotton:
Samozřejmě to druhý, jenže když to naformuluju takhle vágně (nejpomaleji rostoucí), nedozvím se tady žádný řešení, jenom žádosti na upřesnění. Proto jsem zkusil to n^r - kdyby někdo dokázal, že to pro každý r diverguje, tak alespoň vím, že mám hledat vejš.

Wotton · 03. 07. 2011 09:56

↑ Cynyc:

a ještě předpokládám že chceš aby to bylo rostoucí, a nějaká divoká rekurzivně zadaná posloupnost by ti nestačila:-)

A mimochodem, jak si na to přišel? Je to něco jako "počítání koulí"?:-)

Cynyc · 03. 07. 2011 12:45

↑ Wotton:
To víš, učím limity, tak mě to napadlo při vymejšlení příkladů do písemky :) A co se týče tý a_n, ideální by byl co nejlepší odhad pomocí elementárních funkcí, v horším případě analyticky (řadou). Chování rekurentních posloupností se odhaduje dost blbě.

Matematické Fórum

#1 15. 09. 2010 14:42

Limita

#2 15. 09. 2010 15:01

Re: Limita

#3 15. 09. 2010 15:19

Re: Limita

#4 15. 09. 2010 15:57

Re: Limita

#5 15. 09. 2010 16:25

Re: Limita

#6 15. 09. 2010 17:46

Re: Limita

#7 16. 09. 2010 10:27 — Editoval Rumburak (16. 09. 2010 10:31)

Re: Limita

#8 02. 07. 2011 09:56

Re: Limita

#9 02. 07. 2011 11:31

Re: Limita

#10 03. 07. 2011 09:56

Re: Limita

#11 03. 07. 2011 12:45

Re: Limita

Zápatí