Matematické Fórum

easy · 15. 09. 2010 17:45 — Editoval easy (15. 09. 2010 18:14)

Zdravím,
měl bych 2 otázky. Jak se v češtině nazývá derivace založená na $f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h^2}$ ? (v aj - differentiation by first principles)
Dále jsem narazil na funkci $f(x)=x^{\frac{5}{3}}$ která má být zderivována pomocí toho, čemu se v angličtině říká differentiation by first principles.

Dokázal jsem se dostat až sem:
$f(x)=x^{\frac{5}{3}} \nl f(x+h)=(x+h)^{\frac{5}{3}} \nl$
$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h^2} \nl f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{\frac{5}{3}}-x^{\frac{5}{3}}}{h^2} \nl$
$\mathbf{subs}: a=x^{\frac{5}{3}} , b=(x+h)^{\frac{5}{3}} \nl$
$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a-b}{h^2}\cdot \frac{a^2+ab+b^2}{a^2+ab+b^2} \nl f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{a^3-b^3}{h^2(a^2+ab+b^2)} \nl f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^5-x^5}{h^2(x^{\frac{10}{3}}+x^{\frac{5}{3}}(x+h)^{\frac{5}{3}}+(x+h)^{\frac{10}{3}})} \nl$
$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{x^5+5x^4h+10x^3h^2+10x^2h^3+5xh^4+h^5-x^5}{h^2(x^{\frac{10}{3}}+x^{\frac{5}{3}}(x+h)^{\frac{5}{3}}+(x+h)^{\frac{10}{3}})} \nl f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{h(5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4)}{h^2(x^{\frac{10}{3}}+x^{\frac{5}{3}}(x+h)^{\frac{5}{3}}+(x+h)^{\frac{10}{3}})} \nl f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5x^4+10x^3h+10x^2h^2+5xh^3+h^4}{h(x^{\frac{10}{3}}+x^{\frac{5}{3}}(x+h)^{\frac{5}{3}}+(x+h)^{\frac{10}{3}})} \nl$

Dál nevím jak se zbavit 'h' ve jmenovateli abych mohl dosadit $h=0$ . Není v mém postupu chyba někde? Napadá vás jak pokračovat nebo jak jinak to řešit?

Děkuji easy

Pavel · 15. 09. 2010 17:54

↑ easy:

A neměla by ta definice být

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ?

teolog · 15. 09. 2010 17:55 — Editoval teolog (15. 09. 2010 17:56)

↑ easy:
Celé jsem to nezkoumal, ale v definici derivace je ve jmenovateli jenom h, nikoliv h^2.

A differentiation by first principles podle mne znamená, derivujte podle definice. Ale je to jen můj dohad, nejsem žádný angličtinář.

Stýv · 15. 09. 2010 17:56

↑ easy: já bych to přeložil jako "derivování z definice"

easy · 15. 09. 2010 18:09 — Editoval easy (15. 09. 2010 18:11)

Samozřejmě, máte pravdu. Má tam být jen h a ne h^2. Tím se vše vysvětluje.

↑ Stýv:
Ono to má cosi společného s Newtonovým rozdílovým kvocientem. Derivování z definice se mi ale líbí :)

Děkuji

Matematické Fórum

#1 15. 09. 2010 17:45 — Editoval easy (15. 09. 2010 18:14)

Derivace

#2 15. 09. 2010 17:54

Re: Derivace

#3 15. 09. 2010 17:55 — Editoval teolog (15. 09. 2010 17:56)

Re: Derivace

#4 15. 09. 2010 17:56

Re: Derivace

#5 15. 09. 2010 18:09 — Editoval easy (15. 09. 2010 18:11)

Re: Derivace

Zápatí