Matematické Fórum

s-o-k-o-l · 02. 10. 2010 19:25

Ahoj,
potřeboval bych se zeptat na postup důkazu. Mám za úkol dokázat, že odmocnina ze 7 je iracionální číslo. Nemohl by jste mě někdo nakopnout, jak s tím hnouti?
Zkoušel jsem dokázat, že 7 je prvočíslo pomocí Eratosthenova síta, avšak tento způsob asi nebude ten správný.
Díky moc.

Kondr · 02. 10. 2010 19:41

Že je sedm prvočíslo není třeba dokazovat (pokud důkaz předkládáš lidem znalým malé násobilky). Jinak užij google.

s-o-k-o-l · 02. 10. 2010 19:46

↑ Kondr:

Na googlu mam odmocninu ze 2 pořád jen. S tym prvočíslem to asi byla blbost, ale rada užij googl je fakt skvělá, by mě nenapadla teda. Tu hodinu sem asi dělal co?

jarrro · 02. 10. 2010 19:49 — Editoval jarrro (02. 10. 2010 19:51)

sporom nech $\sqrt{7}=\frac{p}{q};D\left(p,q\right)=1\nl7=\frac{p^2}{q^2}\nlp^2=7q^2\Rightarrow 7|p^2$ teraz stačí dokázať ,že ak 7 delí p^2 tak delí aj p
dokazujeme teda:
$7\not{|}p\Rightarrow 7\not{|}p^2$ postupne rozoberáme zvyšky
$\left(7n+1\right)^2=7k+1\nl\left(7n+2\right)^2=7k+4\nl\left(7n+3\right)^2=7k+2\nl\left(7n+4\right)^2=7k+2\nl\left(7n+5\right)^2=7k+4\nl\left(7n+6\right)^2=7k+1$ teda máme,že p je násobok siedmych,ale to znamená,že
$49k^2=7p^2\nl7k^2=p^2\Rightarrow 7|p$ teda sme dostali,že spoločný deliteľ čitateľa a menovateľa je 7 čo je spor s predpokladom,že zlomok je v základnom tvare

Pavel Brožek · 02. 10. 2010 21:10

↑ jarrro:

Na konci bys měl mít spíš

$49k^2=7q^2\nl7k^2=q^2\Rightarrow 7|q$ .

$7|p^2\Rightarrow 7|p$ bych dokazoval spíš pomocí prvočíselného rozkladu $p^2$ . V něm zřejmě musí být prvočíslo 7 alespoň v první mocnině. Pokud by však nebylo prvočíslo 7 v prvočíselném rozkladu p, pak by nebylo ani v prvočíselném rozkladu $p^2$ . Proto číslo 7 v prvočíselném rozkladu p musí být.

Olin · 02. 10. 2010 21:13 — Editoval Olin (02. 10. 2010 21:46)

Asi nejkratší argument je, že zatímco rozklad čísla $7q^2$ obsahuje sedmičku v liché mocnině, rozklad $p^2$ ji obsahuje v sudé.

↑ s-o-k-o-l:
A když celý ten důkaz napíšeš a pak v něm všude přepíšeš dvojku na sedmičku (jen ne v exponentech), tak dostaneš co?

EDIT: Neodpustím si dodat ještě jeden důkaz, který osobně považuji za úplně nejrychlejší pro osoby obeznámené s problematikou.

$\sqrt{7}$ je jistě kořenem polynomu $x^2-7$ . Pokud by byla $\sqrt{7}$ racionální, pak bychom ji jistě našli mezi racionálními kořeny, ale tam ji budeme hledat marně (věta o racionálních kořenech)…

Kondr · 02. 10. 2010 21:38

s-o-k-o-l napsal(a):
↑ Kondr:Tu hodinu sem asi dělal co?

Počítal jsem s tím, že zvládneš to, co psal Olin: najít ten důkaz pro jiné prvočíslo a příslušně upravit. A pokud je to problém, tak třeba na druhý pokus najdeš toto: http://wiki.answers.com/Q/Prove_by_cont … nal_number

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2010 19:25

Odmocnina 7

#2 02. 10. 2010 19:41

Re: Odmocnina 7

#3 02. 10. 2010 19:46

Re: Odmocnina 7

#4 02. 10. 2010 19:49 — Editoval jarrro (02. 10. 2010 19:51)

Re: Odmocnina 7

#5 02. 10. 2010 21:10

Re: Odmocnina 7

#6 02. 10. 2010 21:13 — Editoval Olin (02. 10. 2010 21:46)

Re: Odmocnina 7

#7 02. 10. 2010 21:38

Re: Odmocnina 7

s-o-k-o-l napsal(a):

Zápatí