Matematické Fórum

Esperance napsal(a):

- musím dokázat, že v Df jsou nějaké x1 a x2 (které se nerovnají) a mají v hf své obrazy, které se také nerovnají.

TOTO JE BOHUŽEL ŠPATNĚ.  Trochu si to pleteš s postupem, kdy bychom dokazovali, že funkce f NENÍ prostá:
hledali bychom v Df navzájem různé body x1, x2 takové, aby f(x1) = f(2).

K důkazu, že funkce f JE prostá, nestačí ukázat, ře jedna dvojice x1, x2 navzájem různých bodů  splňuje podmínku

(1)                                            f(x1) <>  f(x2)  .

Je nutno ukázat, že podmínku (1) splňuje KAŽDÁ dvojice x1, x2 navzájem různých bodů .

Esperance napsal(a):

-pokud najdu inverzní zobrazení, že y náleží jen jednomu x (bude jednoznačné) dokážu, že je i "původní" zobrazení prosté

V zásadě ANO, jen to vyjádřím přesněji:
Jestliže inversní relace k zobrazení k f  je rovněž zobrazení, pak z toho plyne, že zobrazení f je prosté.
Snad jste relace probírali.  K relaci "A vyhrál nad B" je inversní relací  "X prohrál s Y".  Platí totiž
"A vyhrál nad B"  právě když  "B prohrál s A" .

Esperance napsal(a):

- obor hodnot původního zobrazení je definiční obor inverzního zobrazení a naopak

SPRÁVNĚ.

TECHNICKY se tyto úlohy řeší jako rovnice s parametrem. Napíšeme si rovnici

(*)                             f(x) = p ,            tj. v našem případě x/( 1+x^2 )  = p ,

kde x je neznámá, p parametr,  a hledáme odpovědi na otázky:
1)   Pro které hodnoty parametru p  má rovnice (*) řešení v Df ?  Množina  Hf takových hodnot  p je oborem hodnot funkce f.
2)   Pro které hodnoty parametru p je řešení rovnice (*) určeno jednoznačne ? V případě, že pro každou hodnotu p patřící do Hf,
pak funkce f je prostá a  funkce k ní inversní bude ta funkce (jejímž definičním oborem je Hf),  která každému p  přiřadí onen
jednoznačně určený kořen rovnice (*) .