Matematické Fórum

ENVY.90 · 12. 10. 2010 19:50

Potřebuju poradit,nevím si rady... Mám dokázat kombinatorické identity... suma{k=1}{n} k.k! = (n+1)! - 1

check_drummer · 12. 10. 2010 20:12

Co např. indukcí?

ENVY.90 · 12. 10. 2010 20:27

↑ check_drummer:
neee...to urcite ne. Jesi vis a mas nejaky napad jak,tak to posli pls :)

check_drummer · 13. 10. 2010 20:55

Proč určitě ne? Ano, mám nápad. Indukcí. :-)

Kametec

Už to bude skoro týden, pokud měl ENVY.90 nějaké nápady, tak je předpokládám vyzkoušel.
Nastíním zde řešení, ať se může téma uzavřít:

Pokud jsem správně pochopil zadání, tak je úkolem dokázat rovnost: $\sum_{k=1}^{n}{kk!}=(n+1)!-1$
Důkaz lze provést indukcí dle n.
Předpokládám, že n,k jsou přirozená čísla.
Ověření, že rovnost platí pro $n=1$ je triviální.
Mějme tedy rovnost $\sum_{k=1}^{n}{kk!}=(n+1)!-1$ jako indukční předpoklad.
Nyní je třeba ověřit, že platí tato rovnost: $\sum_{k=1}^{n+1}{kk!}=(n+2)!-1$
$\sum_{k=1}^{n+1}{kk!}=(n+1)(n+1)!+\sum_{k=1}^{n}{kk!}$ , což je podle předpokladu rovno $(n+1)(n+1)!+(n+1)!-1)$ .
Mám tedy:
$(n+1)(n+1)!+(n+1)!-1=(n+2)!-1$
Nyní pár jednoduchých úprav. K rovnici přičíst 1, vlevo vytknout (n+1)!, vpravo si rozepsat (n+2)! na (n+2)(n+1)!, rovnici vydělit (n+1)! a hotovo, nyní je zřejmé, že tato rovnost platí pro všechna přípustná n.

edit: opraveny překlepy

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2010 19:50

Kombinatorika

#2 12. 10. 2010 20:12

Re: Kombinatorika

#3 12. 10. 2010 20:27

Re: Kombinatorika

#4 13. 10. 2010 20:55

Re: Kombinatorika

#5 18. 10. 2010 10:53 — Editoval Kametec (18. 10. 2010 11:26)

Re: Kombinatorika

Zápatí